收稿日期:2003-04-14;修改稿收到日期:2 00 3-10-10.
基金项目:“863”课题(2002
AA
001006).
作者简介:罗亚中 (1979-),男, 博 士 ;
唐国金
*
(1963-),男,教授,博士生导师 .
第22卷第1期
2005 年 2 月
计算力学学报
Chinese Journal of Computational M echanics
Vol
.22,
No
.1
February
2005
文章编号:1007-4708(2005)01-0109-06
求解非线性方程组的混合遗传算法
罗亚中, 袁端才, 唐国金
*
(国防科技大学 航天与材料工程学院,湖南 长沙 410073)
摘 要:非线性方程组的求解是数值计算领域中最困难的问题,大多数的数值求解算法例如牛顿法的收敛性和
性能特征在很大程度上依赖于初始点。但是对于很多非线性方程组,选择好的初始点是一件非常困难的事情。本
文结合遗传算法和经典算法的优点,提出了一种用于求解非线性方程组的混合遗传算法。该混合算法充分发挥
了遗传算法的群体搜索和全局收敛性,有效地克服了经典算法的初始点敏感问题;同时在遗传算法中引入经典
算法(Pow ell法、拟牛顿迭代法)作局部搜索,克服了遗传算法收敛速度慢和精度差的缺点。选择了几个典型非线
性方程组,从收敛可靠性、计算成本和适用性等指标分析对比了不同算法。计算结果表明所设计的混合遗传算法
有着可靠的收敛性和较高的收敛速度和精度,是求解非线性方程组的一种成功算法。
关键词:非线性方程组;混合遗传算法;优化和迭代;嵌套混合;拟牛顿迭代法
中图分类号:TP18 文献标识码:A
1 引 言
非线性方程组求解是实际工程领域的一个重
要问题,在数值天气预报、石油地质勘探、计算生物
化学、控制领域和轨道设计等方面均有较强的应用
背景。长期以来,人们在理论和数值计算方面对非
线性方程组作了大量的研究,但是非线性方程求解
仍然是困扰人们的一个难题
[1 ]
,特别是对于高非线
性度的实际工程问题,始终缺乏高效可靠的算法。
牛顿迭代法及其改进形式是目前应用最广泛的非
线性方程组求解算法,但是此类算法的收敛性在很
大程度上依赖于初始点的选择,不合适的初始点很
容易导致算法收敛失败,然而选择一个好的初始点
往往是一件非常困难的事情。从实际应用角度出
发,有必要探索高效可靠的算法。
近年来具有全局收敛性的遗传算法是优化设
计领域的研究热点。遗传算法是模仿自然选择和遗
传机制的一种智能优化算法,隐含并行性和群体全
局搜索特性是它的两个显著特征,具有较强的鲁棒
性,对于一些大型、复杂非线性系统求解具有独特
的优越性能。本文尝试从优化和迭代相结合的角度
求解非线性方程组,从遗传算法的特点和经典算法
特点出发,设计了一种用于求解非线性方程组的高
效可靠的混合算法,算法继承了遗传算法的群体全
局搜索能力,具有全局收敛性;同时在遗传算法中
引 入经典算法(Pow ell法、牛顿法及其改进形式)
作为一个元算子则有效地提高了算法的局部搜索
能力,使得算法具有较高的收敛速度和求解精度。
2 问题描述
实函数非线性方程组的一般形式(假定有 n 个
变量 X =[x
1
,x
2
,…,x
n
]和n 个方程,且有解) 为
f
1
(x
1
,x
2
,…,x
n
)= 0
f
2
(x
1
,x
2
,…,x
n
)= 0
┆
f
n
(x
1
,x
2
,…,x
n
)= 0
(1)
求解此方程组等价于求解下面一个极值优化问题:
find: X =[x
1
,x
2
,…,x
n
],X ∈Φ
m in: f (X )=
∑
n
i =1
f
2
i
(X )
(2)
式(2) 中 Φ为方程组解的区间,当 f (X ) 最小值为 0
时,所对应的 X 即为方程组的解。
针对式(1) 和式(2) 出发求解非线性方程组的
方法可以分为以下两种。
2.1 牛顿法及其改进方法
从式(1) 的等式条件出发构造迭代格式是求
解方程组的基本方法,而牛顿法就是其中应用最广
泛最基本的方法
[1 ]
。
牛顿法在实际的应用中存在着需要大量计算
雅可比矩阵、无法克服病态矩阵等缺点,因此就有
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