本文探讨的是向量平衡问题，具体研究了向量平衡问题的间隙函数和误差界，以无需借助任何标量化方法为出发点，提出了间隙函数及其正则化版本的概念。在一定的条件下，通过强单调性的数据，论文提出了向量平衡问题的误差界，并将这一理论应用到了向量变分不等式上。
要理解这些概念，首先需要了解向量平衡问题的定义和它在优化理论中的重要性。向量平衡问题（Vector Equilibrium Problems，简称VEP）是优化问题中的一种泛化形式，它包括优化、多目标优化、变分不等式、不动点问题和互补问题等在内的多种数学问题，以及非合作博弈中的Nash均衡和逆优化作为特殊情形。这种问题模型是当前优化理论研究中的主要角色，其核心在于求解一个给定的向量值映射在某个约束集上达到某种均衡状态的解集。
间隙函数（Gap Functions）是数学优化领域中的一个概念，用于测量某个解到最优解集的偏离程度。间隙函数通过一个非负实值函数来表征当前解与最优解之间的差距。如果间隙函数值为零，说明当前解是问题的最优解。在向量平衡问题中，间隙函数被用于描述向量值映射的均衡性，是解决这类问题的重要工具。
正则间隙函数（Regularized Gap Functions）是对间隙函数的一种改进，通过引入正则化项来改善原问题的性质。正则化技术通常用于非光滑优化问题中，能够使原问题变得更加平滑，从而便于数值求解。在向量平衡问题中，正则间隙函数同样可以提升问题的可处理性，使得求解变得更加容易。
误差界（Error Bounds）是对问题解的稳定性的一种度量，它给出了解偏离最优解集的上界估计。误差界的提出对于了解问题的解集结构，以及设计数值算法寻找近似最优解都是至关重要的。在向量平衡问题中，误差界的概念尤为重要，因为它们能够帮助我们了解解集的几何特性和连续性，从而为算法设计提供依据。
强单调性（Strong Monotonicity）是保证数学模型中解的存在性和唯一性的关键属性之一。在优化问题中，如果一个函数或映射是强单调的，那么它在某种程度上保证了问题解的唯一性，并且有助于分析问题的稳定性和求解算法的收敛性。在本文的背景中，强单调性是指在一定条件下，向量平衡问题的解满足某些单调性条件。
向量变分不等式（Vector Variational Inequalities，简称VVI）是向量平衡问题的一个特例，同时也是优化理论中的一个重要分支。VVI可以看作是向量平衡问题的另一种表述形式，其核心问题同样是要找到某种均衡状态的解集。向量变分不等式在经济学、工程学和物理学等领域有着广泛的应用。
在向量平衡问题研究中，间隙函数和误差界的概念是分析问题结构、设计求解算法的基础工具。本文研究的创新之处在于，它在不依赖于标量化方法的情况下，直接从向量平衡问题的结构出发，得到了间隙函数和误差界的表达式，这在理论和应用上都具有重要意义。通过强单调性的数据，本文为向量平衡问题的求解提供了理论上的误差界限，进一步拓展了向量变分不等式的相关理论。这些结果不仅为向量平衡问题的研究者提供了新的理论工具，也为相关领域的工程实践提供了潜在的数值解法和算法设计思路。
本文作者团队来自重庆大学数学与统计学院、太原工业学院理学系和重庆三峡学院数学与统计学院。其中，李耿华、陈小彪和刘金魁分别来自不同的研究方向，但都致力于向量优化和算法优化的研究。这三位作者的研究成果在优化理论领域具有一定的影响力。研究成果得到了重庆三峡大学的资助，展示了国内高校在优化理论领域的研究进展和学术支持。
本文的撰写和发表标志着向量平衡问题及相关领域的研究进入了一个新的阶段，为后续的理论研究和实际应用提供了新的视角和方法。这些理论工具的开发和应用，可能会在优化算法、经济学模型、工程技术等领域产生广泛的影响。
