矩阵补全问题在图像处理和图形学领域中有着广泛的应用。为了处理实际问题，需要开发快速且精确的算法。截断核范数（Truncated Nuclear Norm, TNN）作为一种优化模型，由于能够利用目标矩阵秩的先验信息，相比传统核范数，它被视为一种更好的秩约束替代函数。然而，现有的基于TNN的惩罚算法由于为了避免直接更新非凸函数而采用的两步方案，通常收敛速度较慢。本文提出了一种有效的计算算法，命名为动量自适应和秩揭示（Momentum Adaptive and Rank Revealing，MARR），用于解决基于TNN约束的矩阵补全问题。该算法的优势在于通过引入非单调约束减少迭代次数，并通过控制矩阵大小降低计算负担。此外，该搜索的下降性质和收敛性也得到了证明。在图像修复实验中，包括图像和范围数据在内的结果表明，所提出的算法在视觉和数值上与几个最新的方法相比较，都能达到非常有竞争力的结果，并且在减少迭代次数和运行时间上有显著的性能提升，从而更适合解决现实世界的问题。
矩阵补全（Matrix Completion，MC）问题在多媒体应用中崛起，特别是在图像修复、视频修复等领域。矩阵补全是计算机视觉中图像表示的重要组成部分。计算机视觉和图像表示是计算机视觉应用领域的基础研究方向，它们在人工智能研究中占据着极其重要的地位。
在这项研究中，作者首先介绍了矩阵补全问题及其在图像处理和计算机视觉中的应用背景。然后，讨论了现有的矩阵补全方法存在的挑战和局限性，特别是那些利用TNN作为优化目标的方法。由于直接处理非凸函数的计算复杂性，这些方法往往需要较多的迭代次数才能收敛。
为了解决这一问题，作者提出了MARR算法，该算法引入了非单调约束以减少迭代次数，并通过控制矩阵大小以降低计算量。算法还证明了其下降性质和收敛性，这为算法的理论基础提供了保证。作者通过在图像修复上的实验验证了MARR算法的有效性。实验结果不仅在视觉上令人满意，而且在数值上与当前最先进方法相比也展现了竞争力，同时显著减少了迭代次数和运行时间，使得算法更适用于现实世界的问题。
关键词“矩阵补全”、“截断核范数”、“奇异值阈值化”、“加速近端梯度”和“图像修复”都是本研究领域的关键词汇。本论文还遵循了ACM的引用格式，并在2018年CGI会议的论文集中被收录。
研究论文提出的MARR算法相较于传统方法，不仅提高了矩阵补全任务的效率和准确性，还特别指出了解决非凸优化问题时遇到的挑战。这些挑战与处理高维度数据时的复杂度以及矩阵的稀疏性质相关。为了克服这些挑战，研究者们发展出了多种技术和算法，例如奇异值阈值化和加速近端梯度下降，这些技术都以不同的方式帮助改进了算法的性能。
文章通过理论分析和实验验证，展示了MARR算法在不同数据类型（如图像和范围数据）上的应用潜力，以及它在图像修复任务中的实际效果。这项研究不仅为相关领域的研究人员提供了新的工具和方法，还为工业界提供了可行的技术方案，尤其是在对算法效率和结果质量有较高要求的实时系统或大规模应用中。
