简单无向不同构图的计数问题，是组合数学中的一个经典而困难的问题。这个问题涉及到了图论中的同构概念以及群论中的Burnside引理和对称群的作用。
同构是图论中一个核心概念。所谓两个简单无向图G1和G2同构，是指存在一个双射g：V1→V2，使得图G1中的任意一对顶点（vi，vj）属于边集E1当且仅当顶点对（g（vi），g（vj））属于边集E2。这意味着两个同构图在拓扑结构上完全一样，唯一的区别在于顶点的标记。
组合数学中计数问题的一个重要工具是Burnside引理，也称为Burnside不动点定理。Burnside引理是群作用理论的一个基本结果，它给出了不动点的平均数目与群作用轨道数之间的关系。在简单无向不同构图的计数问题中，我们需要计算所有可能的简单无向图的数量，也就是计数的问题。
文中提到的Burnside引理在计数问题中的应用，首先要理解群对集合的作用。对集合Ω的作用是指一个群G中的元素g可以将Ω中的元素映射到自身内部的某种变换。具体到简单无向图的计数，群的作用是通过n次对称群Sn，即由n个元素的所有置换构成的群，对点集合V的二元子集Y的作用。通过这种作用，我们可以找到所有简单无向图的轨道，即在同构意义下不同的图的集合。
Burnside引理的核心思想是将不动点的计算转化为轨道的计算。所谓的不动点是指在群的作用下保持不变的元素。对于简单无向图来说，不动点对应于那些在群对点集合二元子集作用下保持不变的图。
本文的主要贡献是提出了一个计算简单无向不同构图的总数的通解公式。为了达到这个目的，作者使用了Burnside引理来计算对称群Sn对简单无向图集合的作用的不动点数。在定理中给出的通解公式中，需要用到置换的阶和置换的循环结构。置换的阶是指使得置换返回到其初始状态所需的重复应用次数，循环结构是指置换中长度为1的循环以及长度大于1的循环。
在群论中，置换可以分解为一些不相交的循环的乘积，每个循环对应于一种移动，即置换的一部分，将一组元素按照循环的方式重新排列。对于每个置换g，它的循环结构告诉我们每种循环在g中的出现次数。通解公式中，对称群Sn中所有可能的不同置换类型的循环结构进行求和，即对所有不同类型的置换的循环数进行加权求和。
在此基础上，该文通过引入引理和定理证明，给出了计算轨道数的通解公式，用数学语言精确地表达了如何通过群作用的不动点数目来求解简单无向不同构图的总数。
定理证明是整个问题解决的关键。在证明定理之前，作者通过几个引理为证明定理打下了基础，包括了置换作用于二元子集后不动点的计算和置换循环结构的分析。定理的证明过程，涉及到对称群中置换的作用以及对置换循环类型的详细分析和计数。
这篇文章为解决简单无向不同构图的计数问题提供了一种全新的方法，即通过群论中的Burnside引理和对称群的作用来求解。这项工作不仅在理论上具有重要意义，而且为处理类似问题提供了一种强有力的数学工具。
