关于广义Fermat数F（6，1，n）的一个结论 (2010年)
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第 36 卷第 5 期
西南民族大学学
报
·
自然科学版
Sep.
2010
Journal of Southwest University for Nationalitie
s
Natural Science Edition
___________________________________________________________________
___________________________
收稿日期：2010-08-05
作者简介：张四保(1978-), 男, 江西峡江人, 讲师, 理学硕士, 主要从事数论与代数研究.
文章编号: 1003-2843(2010)05-0714-04
关于广义 Fermat 数
(6,1, )
n
F
的一个结论
张四保
1
, 刘佳
2
(1. 喀什师范学院数学系, 新疆喀什 844007; 2. 疏附县第二中学, 新疆疏附 844100)
摘 要 : 对 于 任 意 的 正 整 数
n
,
( )
n
表 示
n
的 所 有 不 同 因 子 的 和 . 若 存 在 不 同 的 正 整 数
a
,
b
,
c
满足
)()()( cba
, 则称
a
,
b
,
c
为亲和三数组.在此给出了广义 Fermat 数
16
2
),1,6(
n
n
F
不与任何正整数
构成亲和三数组的结论.
关键词: 广义 Fermat 数; 亲和数; 亲和三数组数
中图分类号: O156 文献标识码: A
1 引言
对于任意的正整数
n
,
( )
n
表示
n
的所有不同正因子的和.如果正整数
n
,
m
满足
( ) ( )
m n m n
,
则
( , )
n m
称为一对亲和数; 而对于不同的正整数
a
,
b
,
c
若满足
)()()( cba
, (1)
则称
a
,
b
,
c
为亲和三数组.
设
n
,
a
,
b
是正整数, 定义广义 Fermat 数
),,( nba
F
为
)1(
1
2
),,(
n
a
b
F
nba
.
其中
)1(|
2
n
ab
[1]
.
当
2
a
,
1
b
,
),,( nba
F
即为通常的 Fermat 数.2005 年, 沈忠华
[2]
证明了 Fermat 数不与任何
正整数构成亲和三数组.而对于广义 Fermat 数的情况未曾讨论过.在此, 讨论广义 Fermat 数
16
2
),1,6(
n
n
F
的情
况, 给出了广义 Fermat 数
16
2
),1,6(
n
n
F
不与任何正整数构成亲和三数组, 其中
n
为任意的正整数, 即有如下
定理.
定理 不存在正整数
x
,
y
满足
yxFyxF
nn
),1,6(),1,6(
)()(
. (2)
2 引理
引理 1 对于所有的正整数
n
, 必有
2
( )
n n
成立.
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