根据给定的文件内容，以下是对知识点的详细阐述：
1. 二次型的矩阵、标准形、规范形及正负惯性指数
二次型通常指的是一类具有以下形式的多项式：f(x1, x2, ..., xn) = ∑(a_ij * x_i * x_j)，其中a_ij是实系数且a_ij = a_ji，x_i是变量。二次型的矩阵是指由二次型中所有变量的系数构成的矩阵，该矩阵必定是对称矩阵。标准形是指通过配方法或者正交变换化简后的只含平方项的二次型形式。规范形则是标准形中进一步将平方项系数化为1、-1或0的形式。正负惯性指数分别指的是规范形中系数为正数和负数的平方项的个数，它们反映了二次型的正定性和负定性。
2. 方阵分解为对称矩阵和反对称矩阵的和
对于数域P上的任意方阵A，可以分解为A = S + T，其中S是对称矩阵，T是反对称矩阵。对称矩阵指的是满足A^T = A的矩阵，反对称矩阵则是满足A^T = -A的矩阵。这种分解说明了线性空间P^n×n可以分解为对称矩阵空间V1和反对称矩阵空间V2的直和。
3. 线性变换满足平方等于自身的情况分析
当线性变换Â满足Â^2 = Â时，说明该线性变换是一个投影变换。在这种情况下，线性变换的像空间ÂV与核空间Â^(-1)(0)相加得到直和，构成了整个线性空间V。
4. 线性变换在不同基下的矩阵变换
已知线性变换Â在某一基下的矩阵为给定的形式，当基变换后，Â在新基下的矩阵可以通过特定的矩阵变换来求得。
5. 矩阵的不变因子、初等因子、最小多项式和Jordan标准形
矩阵的不变因子是通过行列式因子进一步分解得到的一系列多项式。初等因子是不变因子的因式分解中得到的多项式。最小多项式是矩阵A的零化多项式中次数最低的首一多项式。Jordan标准形是一种特殊的块对角矩阵，它给出了线性变换在适当基下的一个标准化的矩阵表示，其中每个对角块称为Jordan块。
6. 正交变换的定义及其性质
正交变换是保持内积不变的线性变换，即对于任意的x, y属于线性空间V，有<Âx, Ây> = <x, y>。正交变换的等价形式包括Â^TÂ = Â^-1。如果正交变换Â的某个子空间V1上仍然保持正交性，那么Â在V1上的限制也是正交变换，且该限制是可逆的。
7. 正交矩阵与对角矩阵
正交矩阵T是一种特殊的方阵，其转置矩阵等于其逆矩阵，即T^T = T^-1。正交矩阵的乘积与对角矩阵相似，表示一个线性变换，它具有使矩阵变为对角矩阵且对角元素为特征值的性质。该性质在要求矩阵为正交矩阵时尤其重要。
8. 实对称矩阵和正定矩阵的乘积
如果A是实对称矩阵，B是正定矩阵，则矩阵AB是实对称的。实对称矩阵的性质使得它们可以进行特定的代数运算并保持对称性。正定矩阵表示一个二次型总是正的，这在最小化和最大化问题中是重要的概念。
以上内容涵盖了华东理工大学高等代数期末测试卷中的多个核心知识点，包括二次型的处理、矩阵的分解、线性变换的性质分析、矩阵特征值与特征向量的计算以及正交变换的应用等。这些知识点是线性代数乃至整个数学领域中重要的基础理论，广泛应用于物理、工程、计算机科学等多个领域。
