高等数学(下)重点总结-自动化181 程凯.pdf

高等数学是数学的一个重要分支，它主要研究函数的极限、导数、积分以及它们的应用。高等数学（下）通常包括空间解析几何与向量代数、多元函数微分学、多元函数积分学等章节。下面将详细解读给定文件中高等数学（下）的一些重要知识点。 ### 第十章 空间解析几何与向量代数 #### 二次曲面 1. **椭圆锥面**：椭圆锥面是通过将椭圆绕其所在平面的一个主轴旋转得到的曲面。它的方程为 \( \frac{z^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = \frac{x^2}{c^2} \)，其中 \( a, b, c \) 为常数。 2. **椭球面**：椭球面是由三维空间中的三个轴互相垂直的椭圆旋转而成。其方程为 \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1 \)。 3. **旋转椭球面**：类似于椭球面，但其方程简化为 \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1 \)，表示沿x轴的旋转。 4. **单叶双曲面** 和 **双叶双曲面**：这两种双曲面的区别在于其方程的正负号。单叶双曲面方程为 \( \frac{z^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{c^2} = 1 \)，双叶双曲面方程为 \( \frac{z^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} + \frac{x^2}{c^2} = -1 \)。 5. **椭圆抛物面** 和 **双曲抛物面（马鞍面）**：这两种曲面分别对应于 \( z = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \) 和 \( z = \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} \)。 6. **椭圆柱面** 和 **双曲柱面**：前者为 \( x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 \) 的圆柱面，后者为 \( x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 \) 的双曲柱面。 7. **抛物柱面**：其方程为 \( y = ax^2 \) 或 \( x = ay^2 \)，表示抛物线沿垂直于平面的方向移动而形成的曲面。 #### 平面及其方程 1. **点法式方程**：点法式方程 \( Ax + By + Cz + D = 0 \) 描述了通过点 \( (x_0, y_0, z_0) \) 且法向量为 \( (A, B, C) \) 的平面。 2. **一般式方程** 和 **截距式方程**：一般式方程也是平面的方程，而截距式方程则显示了平面与坐标轴的交点。 3. **两平面的夹角**：两个平面的夹角可以通过它们的法向量计算得出。 4. **点到平面的距离**：点 \( (x_0, y_0, z_0) \) 到平面 \( Ax + By + Cz + D = 0 \) 的距离可以通过公式 \( d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \) 算出。 #### 空间直线及其方程 1. **一般式方程**：空间直线的一般式方程由两个平面方程组成，表示为 \( \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{z - z_1}{z_2 - z_1} \)。 2. **对称式（点向式）方程**：直线的对称式方程 \( x = x_0 + pt, y = y_0 + qt, z = z_0 + rt \)，其中 \( (p, q, r) \) 是方向向量。 3. **两直线的夹角**：两条直线的夹角可以通过它们的方向向量计算得出。 4. **直线与平面的夹角**：直线与平面的夹角等于直线与其在平面上投影的夹角的余角。 ### 第十一章 多元函数微分学 #### 连续 多元函数连续的概念是指当自变量趋近于某一点时，函数值也趋近于该点函数值。 #### 偏导数 多元函数的偏导数是指固定其他变量，仅对其中一个变量求导数。 #### 方向导数 多元函数在某一点沿特定方向的导数，表示函数沿该方向变化的快慢。 #### 梯度 多元函数的梯度是一个向量，其方向为函数增长最快的方向，大小为该方向上的方向导数。 #### 全微分 多元函数的全微分是指函数增量的线性主部。 #### 函数可微、偏导连续、偏导存在、函数连续的关系 这些概念之间存在如下关系：如果函数可微，则偏导数连续；如果偏导数存在且连续，则函数在该点连续；如果函数在某区域内偏导数连续，则该函数在该区域内可微。 #### 微分法 1. **复合函数求导**：链式法则是求复合函数导数的一种方法。例如，如果 \( z = f(u, v) \) 而 \( u = u(x, y) \)、\( v = v(x, y) \)，那么 \( z \) 关于 \( x \) 和 \( y \) 的偏导数可以通过链式法则求得。 以上知识点涵盖了高等数学（下）中空间解析几何与向量代数以及多元函数微分学的核心内容。在学习这些知识点时，重要的是理解各种数学表达式的几何意义、物理意义，并能熟练地运用各种数学工具解决问题。