**TensorFlow 实现简单逻辑回归**
逻辑回归（Logistic Regression）是一种广泛应用的二分类模型，它通过非线性转换将连续的输入数据映射到[0, 1]区间，以此来表示概率估计。在本篇文章中，我们将探讨如何利用 TensorFlow 这一强大的深度学习框架来实现一个简单的逻辑回归模型。
逻辑回归的核心在于它的激活函数，通常选择Sigmoid函数（logistic函数），其表达式为：
\[ \sigma(z) = \frac{1}{1 + e^{-z}} \]
其中，\( z \) 是输入数据经过权重和偏置的线性组合，即 \( z = X \cdot W + b \)，其中 \( X \) 是输入数据，\( W \) 是权重，\( b \) 是偏置。
在 TensorFlow 中，我们可以这样定义模型：
```python
X = tf.placeholder(tf.float32)
Y = tf.placeholder(tf.float32)
w = tf.Variable(tf.random_normal([1], name='weight'))
b = tf.Variable(tf.random_normal([1], name='bias'))
y_predict = tf.sigmoid(tf.add(tf.mul(X, w), b))
```
接下来，我们需要定义损失函数，以衡量模型预测结果与真实标签之间的差距。对于逻辑回归，我们通常使用均方误差（MSE）作为损失函数，即：
\[ L = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (y_i - \hat{y}_i)^2 \]
其中，\( N \) 是样本数量，\( y_i \) 是第 \( i \) 个样本的真实标签，\( \hat{y}_i \) 是预测值。在 TensorFlow 中，这可以通过 `tf.reduce_sum` 和 `tf.pow` 实现：
```python
cost = tf.reduce_sum(tf.pow(y_predict - Y, 2.0)) / num_samples
```
为了最小化损失函数，我们需要一个优化算法。这里，我们选择了 Adam 优化器，它结合了动量和自适应学习率，能有效提高训练效率：
```python
optimizer = tf.train.AdamOptimizer().minimize(cost)
```
接着，我们创建一个 TensorFlow 会话（Session），并初始化所有变量。在训练过程中，我们会使用随机梯度下降法更新权重和偏置，直到损失函数的改变小于某个阈值（例如 \( 10^{-6} \)）：
```python
with tf.Session() as sess:
sess.run(tf.initialize_all_variables())
for epoch in range(num_epochs):
for x, y in zip(xs, ys):
sess.run(optimizer, feed_dict={X: x, Y: y})
train_cost = sess.run(cost, feed_dict={X: x, Y: y})
cost_accum.append(train_cost)
...
```
我们绘制训练过程中的损失曲线，以可视化模型的收敛情况：
```python
plt.plot(range(len(cost_accum)), cost_accum, 'r')
plt.title('Logic Regression Cost Curve')
plt.xlabel('epoch')
plt.ylabel('cost')
plt.show()
```
通过这个简单的示例，我们可以了解如何在 TensorFlow 中构建和训练一个逻辑回归模型。这个模型可以处理二分类问题，通过调整优化算法、损失函数以及网络结构，逻辑回归也能应用于更复杂的场景。在实际应用中，还可以考虑添加正则化防止过拟合，或者使用其他优化技术如批量梯度下降和学习率衰减等。
