本文探讨了二阶线性时变系统的稳定性质，重点在于构建适当的辅助函数（Lyapunov函数）来确保系统的零解稳定性。文中提出了一个2×2矩阵A(t)作为系统动态的核心，其特征值之一为零，另一个为负数，这为系统稳定性分析提供了特殊挑战。通过构建变系数二次型Lyapunov函数，研究者给出了一套系统零解稳定的充分条件。
文中基于系统分析理论，介绍了二阶线性时变系统的基本形式x'=A(t)x，其中x为系统状态向量，A(t)为随时间变化的系统矩阵。对于这类系统，其稳定性分析的一个重要手段是通过构造Lyapunov函数来推导系统解的性质。
Lyapunov稳定性理论是控制理论中的一个重要分支，主要研究非线性系统稳定性的判定方法。该理论的基本思想是，通过构造一个Lyapunov函数V(x)，它在平衡点（本例中为零解）周围是非负的，且其沿着系统轨迹的导数是非正的，这样就说明了系统的解不会远离平衡点，从而保证了稳定性。
文中提出了对Lyapunov函数进行变系数二次型构造的思想，这意味着构造函数的形式不仅依赖于系统的状态变量，还依赖于时间变量t。在二阶系统的背景下，系统矩阵A(t)为2×2，研究者根据A(t)的不同特征值情况，采用不同的方法构造Lyapunov函数。
对于A(t)特征值中有一个为零的情况，研究者讨论了如何通过构造特定形式的Lyapunov函数，并利用它来得到系统零解稳定的充分条件。具体地，文中提出了一个特定的函数形式V(x)，并通过分析其导数来确定稳定性条件。文中还给出了当A(t)的特征值中有一个为负数时，系统零解稳定性的证明过程。
具体地，研究者提出了几个定理，这些定理中包含了不同条件下的稳定性充分条件。例如，定理1和定理2都给出了系统零解稳定的具体条件，这些条件涉及到了系统矩阵A(t)的具体元素以及它们的时间导数。通过满足这些条件，可以确保在给定的时间区间内系统解的稳定性。
文章还讨论了构造Lyapunov函数时需要满足的条件，比如函数必须在t、x1、x2上正定，以及函数导数必须是非正的。这些条件是为了保证Lyapunov函数能够正确反映系统的稳定性。
文中提及了相关的数学符号和定理证明过程。通过严格分析系统的特征方程和Lyapunov函数的性质，研究者推导出了系统零解稳定的充分条件。这些条件为系统稳定性分析提供了数学上的具体标准。
在构造Lyapunov函数时，研究者考虑了A(t)的不同形式，根据其特征值的不同情况，构造了不同的二次型函数，证明了这些函数能给出系统零解稳定的充分条件。
总结来看，本文提出了一种针对具有特殊特征值分布的二阶线性时变系统稳定性的分析方法。通过构建特定形式的Lyapunov函数，并根据系统矩阵A(t)的特征值情况进行分类讨论，研究者不仅揭示了系统的稳定性性质，而且提出了稳定性的充分条件，这对于动态系统的稳定控制有着重要的理论和实际意义。
