本文是一篇关于数学理论的研究文章，主题是探讨平均数递推数列的收敛渐近性质。文章介绍了研究的背景，即在大学生数学竞赛和研究生入学考试中，递推数列极限的问题常常作为一个考察点。文献[1-4]中已经探讨了各种平均数递推数列极限的求法及相应问题的研究，而本文则在这些研究的基础上，运用不变量思想，提出了若干个主要平均数递推数列的收敛渐近性命题。
文章首先提到了“平均数”的概念，它是指反映一组数据集中趋势的一种量。在数学中，根据不同的定义方式，平均数可以分为算术平均数、几何平均数、调和平均数等。文章提到的递推数列，是指数列的某一项是基于前一项或前几项的确定性规律递推而得的数列。
文章接着详细阐述了如何利用不变量思想，从四个方面建立平均数递推数列的收敛渐近性命题。所谓的不变量思想，是指在研究数列的性质时，寻找一个或一组量，它们在数列的递推关系中保持不变或变化遵循某种规律，从而帮助我们理解数列的本质特性。
在构建命题时，文章将平均数递推数列按照它们的产生方式划分为两种：一种是同一种平均数按照同步方式产生的递推数列，另一种是同一种平均数按照不同步方式产生的递推数列。
对于同步方式产生的递推数列，文章首先给出了一个定理，指出了在特定条件下，由同一种平均数产生的三个数生成的递推数列，其极限存在，并且每一项与初始值的平均数收敛至相同的极限值。此外，还证明了这些数列具有渐近性质，即经过特定的变换后，数列的行为表现与几何级数相似。
文章还提出两个推论，分别针对调和平均数和几何平均数。这两个推论进一步说明，在特定条件下，由特定平均数产生的递推数列同样具有收敛性和渐近性质。
对于不同步方式产生的递推数列，文章给出了另一个定理。这个定理展示了一种不同步的情形，即每次递推时只涉及数列中的两个项，并给出了这个数列极限值的求法。
在具体证明这些命题时，文章利用了数学归纳法、极限理论以及不等式等数学工具，证明了定理和推论的正确性，并给出了具体的计算步骤和推导过程。
文章最后提到了研究的局限性，指出了递推数列的收敛渐近性还有许多问题值得进一步探讨，例如不同种类的平均数混合产生的递推数列的性质研究等。
在结论中，作者强调了不变量思想在研究递推数列问题中的有效性和重要性，并指出这些研究对于理解数列的长期行为以及在数学教学和竞赛中的应用具有潜在价值。
文章的作者是赵焕光和项凌云，分别来自温州大学数学与信息科学学院。赵焕光是1955年出生的浙江瑞安人，是一名教授，研究方向为泛函分析与数学教育教学。文章的发表日期是2013年2月，发表在温州大学学报的自然科学版上，文章的DOI编号为10.3875/j.issn.1674-3563.2013.01.002，可以在***网站上获取PDF文件。
通过阅读这篇文章，可以了解到数学领域内对数列性质深入分析的研究方法，以及平均数概念在递推数列研究中的应用。对于数学专业人员和爱好者来说，这是一个极具启发性的研究案例，有助于深化对数列极限和渐近性质的理解。
