分数微分对流-弥散方程( Fractional Advection-Dispersion Equation,FADE)是一种用于模拟多孔介质中溶质非 费克迁移的新模型,然而由于分数微分定义的复杂性,仅能够获得特定的定解条件下 FADE模型解析解。推导出了 基于 Riemman-Liouville( R-L)定义的 FADE模型有限元解,当分数阶微分算子α=2时,该解与传统对流-弥散方程 的有限元解相同。与 Meerschart和 Tadjeran(2004)的有限差分解及 FADE模型的解析解的模拟结果相
### 基于R-L定义的分数微分对流-弥散方程有限元解
#### 一、分数微分对流-弥散方程（FADE）概述
分数微分对流-弥散方程(Fractional Advection-Dispersion Equation, FADE)是一种新型的数学模型，用于描述多孔介质中的溶质迁移行为。传统的对流-弥散方程基于费克定律，适用于描述局部扩散过程，但在处理长程依赖性和非局部效应方面存在局限性。FADE模型通过引入分数阶微分算子来模拟这些非局部效应，可以更准确地描述溶质在多孔介质中的传输特性。
#### 二、FADE模型的分数阶微分定义
FADE模型中的分数阶微分算子通常采用Riemann-Liouville(R-L)定义。R-L定义是一种广泛应用于分数微分方程的数学工具，它允许我们处理包含历史依赖性的物理系统。对于FADE模型而言，R-L定义的使用是关键，因为它能够更好地反映实际情况下溶质迁移的特点，如长程记忆效应。
#### 三、基于R-L定义的FADE模型有限元解
在研究FADE模型时，由于分数阶微分定义的复杂性，往往很难找到解析解。因此，研究者们转向数值方法来求解这类方程。黄权中等人提出了一种基于R-L定义的FADE模型有限元解(FEM)方案。
- **有限元法的基本原理**：有限元法是一种数值近似技术，用于求解偏微分方程。它将连续的空间区域离散为有限数量的单元，每个单元内的变量值可以通过插值函数来表示。这种方法的优点在于能够灵活地适应不同形状的计算域，并且在处理复杂的边界条件时具有优势。
- **FEM解的具体步骤**：将研究区域划分为多个小的单元或元素；在每个单元内假设解的形式，通常是多项式形式；然后，通过最小化某种误差准则（如加权残差最小化）来确定未知系数；通过迭代计算得到整个区域的近似解。
#### 四、FEM解与现有解法的对比
- **与有限差分解的比较**：有限差分方法是另一种常用的数值求解技术。虽然有限差分方法在简单问题上表现出色，但对于FADE模型这类复杂的分数阶微分方程，其数值弥散现象较为严重。相比之下，基于R-L定义的FADE模型有限元解在处理此类问题时表现出了更低的数值弥散，尤其是在长距离传输和长时间模拟的情况下更为明显。
- **与解析解的比较**：尽管FADE模型的解析解在某些特殊条件下可以获得，但在大多数实际应用中并不实用。因此，有限元解提供了一种有效的方法来逼近这些解析解，同时保持了良好的数值稳定性。
#### 五、质量不守恒问题及其原因
在进行数值模拟时，无论采用有限元法还是有限差分法，当空间离散节点数目较大时（N > 100），都会出现质量不守恒的现象。这一现象的出现主要是由R-L分数微分定义本身的特性所导致的。具体来说，R-L定义在处理边界条件时可能会引入额外的项，从而影响到质量守恒的性质。
#### 六、结论与展望
基于R-L定义的FADE模型有限元解为解决多孔介质中溶质非费克迁移问题提供了一种有效的方法。虽然这种方法在减少数值弥散方面表现良好，但仍需进一步研究如何改进数值解的质量守恒性，特别是在高精度要求的应用场景中。未来的研究方向可能包括开发新的数值算法以克服现有的质量不守恒问题，以及探索不同的分数阶微分定义在FADE模型中的应用效果。
