设Fq是q元有限域,q是素数的幂。令信源集S为Fq上所有的n×n交错矩阵的合同标准型,编码规则集ET和解码规则集ER为Fq上所有的n×n非奇异矩阵,信息集为Fq上所有的n×n奇异的交错矩阵,构造映射(K′(ν,n),P)PK′(ν,n)Pt,(A,X)数。进而,当收方与发方的编码规则按照等概率均匀分布选取时,计算出该码敌方模仿攻击成功的概率PI,敌方替换攻击成功的概率PS,发方模仿攻击成功的概率PT,收方模仿攻击成功的概率PR,收方替换攻击成功的概率PR。
### 利用交错矩阵构造带仲裁的认证码
#### 概述
本文旨在探讨如何通过交错矩阵构建一种具有仲裁机制的认证码系统。该系统基于有限域\(F_q\)（其中\(q\)为素数的幂）上的交错矩阵理论，通过对特定矩阵结构的操作来实现信息的安全传输，并确保数据的真实性和完整性。
#### 基础概念
- **有限域**：\(F_q\)表示含有\(q\)个元素的有限域，其中\(q\)为某个素数的幂。
- **交错矩阵**：一种特殊的矩阵形式，其满足\(A^T = -A\)，即转置矩阵等于自身的负矩阵。
- **合同标准型**：两个矩阵通过可逆矩阵变换后可以得到相同的矩阵形式，称此形式为合同标准型。
- **非奇异矩阵**：行列式不为零的矩阵，也称为可逆矩阵。
- **秩**：矩阵中线性无关行（列）的最大数目。
- **认证码**：一种用于验证消息真实性的密码学技术。
#### 构造认证码的方法
本文提出了一种利用交错矩阵构建认证码的新方法。具体来说：
1. **信源集**：\(S\)表示所有\(n \times n\)交错矩阵的合同标准型，这些矩阵属于\(F_q\)。
2. **编码规则集**：\(ET\)和\(ER\)均表示\(F_q\)上所有\(n \times n\)非奇异矩阵的集合，分别用于编码和解码。
3. **信息集**：表示\(F_q\)上所有\(n \times n\)奇异的交错矩阵。
4. **映射构造**：
- 定义映射\(f: S \times ET \rightarrow M\)，其中\(M\)表示所有交错矩阵的集合。
- 定义映射\(g: M \times ER \rightarrow S \cup \{欺诈\}\)，用于解码并验证信息的真实性。
#### 认证码的具体实现
- 映射\(f\)的实现方式是将信源集中的交错矩阵通过编码规则集中的矩阵进行转换。
- 映射\(g\)的作用是验证接收到的信息是否来自合法的发送者。如果验证成功，则输出相应的信源集中的元素；如果验证失败，则输出“欺诈”。
#### 关键步骤与公式
- 设\(K'(\nu, n)\)表示秩为\(2\nu\)的\(n \times n\)交错矩阵的合同标准型。
- 映射\(f\)的具体形式为：\(f(K'(\nu, n), P) = PK'(\nu, n)P^T\)。
- 解码映射\(g(A, X)\)的判定规则为：如果\(XKAKX^T = K'(\nu, n)\)且\(rank(A) = 2\nu\)，则\(g(A, X) = K'(\nu, n)\)；否则，输出“欺诈”。
#### 参数计算
- \(|S|\)表示信源集中元素的数量，\(|S| = [\frac{n}{2}]\)。
- \(|ET|\)和\(ER|\)表示编码规则集和解码规则集的大小，均为\(q^{n(n-1)/2} \prod_{i=1}^{n}(q^i - 1)\)。
- \(|M|\)表示信息集中元素的数量，由公式\( \sum_{\nu=1}^{[\frac{n}{2}]} |GL_n(F_q)| / (|Sp_{2\nu}(F_q)| |GL_{n-2\nu}(F_q)| q^{2\nu(n-2\nu)}) \)给出。
#### 攻击成功的概率分析
- 当接收方和发送方的编码规则按照等概率均匀分布选取时，本文还计算了以下攻击成功的概率：
- 敌方模仿攻击成功的概率\(P_I\)。
- 敌方替换攻击成功的概率\(P_S\)。
- 发送方模仿攻击成功的概率\(P_T\)。
- 接收方模仿攻击成功的概率\(P_R^0\)。
- 接收方替换攻击成功的概率\(P_R^1\)。
#### 结论
本文提出的利用交错矩阵构建的带仲裁的认证码系统，在理论上提供了安全、可靠的通信手段，特别是在对抗各种恶意攻击方面表现出了较好的性能。通过对映射构造及参数的详细分析，不仅展示了该系统的可行性和有效性，也为后续的研究工作提供了理论基础和技术支持。
