代数体函数是复分析领域中的一个重要概念，它是解析函数的一种推广。具体来说，代数体函数是由一个不可约的二元复方程来定义的，形式如下：(z,w)=Av(z)wv+Av-1(z)wv-1+...+A1(z)w+A0(z)=0，其中Aj(z)是z的全纯函数，并且这些函数不会在某一点同时为零。当v=1时，我们得到的是一元代数函数，它在复分析中是通过一个非零多项式来定义的，其解可以看作是复平面上的一个代数曲线。
在论文中，作者首先给出了代数体函数的定义，并引入了可约与不可约代数体函数的概念。可约代数体函数是指一个代数体函数能够被其他函数整除，而不可约代数体函数不能被除了自身和一些全纯函数以外的函数整除。这种整除性的定义是通过代数体函数对应的多项式系数的亚纯函数来表达的。在此基础上，作者通过构造特定的例子，说明了可约和不可约代数体函数的存在性。
为了进一步阐述代数体函数的性质，文章引入了分支点和极点的概念。分支点是函数在某点发生多值性的情况，而极点是指函数在某点趋向于无限大。在复分析中，极点和分支点是函数奇点的两种不同形式。论文指出，代数体函数的分支点与极点之间不存在包含关系，即分支点不一定是极点，反之亦然。这是代数体函数与亚纯函数（如有理函数）的一个重要不同之处。
在文章的第二部分，作者通过两个具体的例子展示了不可约代数体函数和可约代数体函数。在第一个例子中，函数w3-z=0定义了一个三值代数体函数，在整个复平面上是不可约的。但是，当限制在单连通区域z-5<1内时，该函数却变成可约的。作者详细讨论了这种情况下函数如何由单值解析函数表示，并说明了分支点在此过程中的作用。
在第二个例子中，作者考虑了两个不同的二元复方程，它们在区域C-{0}内定义了代数体函数。作者表明，虽然第一个方程定义了一个不可约的代数体函数，但第二个方程定义的函数却是可约的。文章分析了这种可约性的原因，说明了在相同的区域内，两个不同的复方程可以定义出不同性质的代数体函数。
论文最后强调了，代数体函数的性质是与其定义域紧密相关的。不同区域内的性质可能是不同的，即一个复方程在不同区域内定义的代数体函数可能是可约的或不可约的。这个观察结果对于理解代数体函数的全局性质至关重要。
通过以上的讨论，文章得出了代数体函数在不同区域内的可约性以及分支点与极点的性质，为深入研究代数体函数的全局性质提供了基础。作者还指出，代数体函数的函数元素，即它的展开式和局部行为，也将是未来研究中的重要课题。
整篇文章强调了代数体函数理论在复分析中的重要性，并通过构造具体例子，展示了一些核心概念和性质。同时，文章也指出了未来研究的方向，即如何进一步理解和分类代数体函数的函数元素。研究者们可以通过这些基础和后续研究，更好地掌握代数体函数的复杂结构及其在数学和物理中的应用。
