这篇论文探讨的是有限群的非次正规子群共轭性质的问题。标题指出，当一个有限群G的所有非次正规子群都是共轭的时，它给出了一种等价条件。这个条件涉及到群G中特定多项式的性质。描述中提到，这个条件是群G满足以下条件的充要条件：存在一个不可约多项式f(x) = x^β - d_βx^β-1 - ... - d_2x - d_1，在域F_q上是不可约的，并且它是x^(p-1)的因子。
文章作者FENG Ai-fang, ZHAI Ting 和DU AN Ze-yong来自西南大学数学与统计学院，他们在2007年2月发表的这篇论文中提出了两个引理（Lemma）来支持他们的论点。
第一个引理表明，如果一个有限群G只有一个非次正规子群H，则这会导致H成为正规子群，这与假设相矛盾，因此这样的群不存在。这意味着至少需要至少两个不同的非次正规子群。
第二个引理则指出，如果G恰好有两个非次正规子群H和H_l，那么H_l是H的唯一共轭子群，且N_c(H)（H的共轭中心）不等于H。如果N_c(H)包含H，那么H会是G的正规子群，这违反了假设；如果N_c(H)等于H，那么G的阶数将是H的两倍，这意味着H将生成整个群G，这也是不可能的，因为H是非次正规的。这两个引理排除了只有零个或两个非次正规子群的群的可能性。
论文的其余部分可能继续深入研究具有这些特性的群G的结构，可能涉及内部幂零群（inner-nilpotent group）和内部阿贝尔群（inner-Abelian group）的概念。内部幂零群指的是其每个子群都是幂零的群，而内部阿贝尔群则是其每个子群都是阿贝尔的。这些性质对于理解群的结构至关重要，特别是在有限群理论中，次正规子群的性质往往与群的中心化子和正规化子密切相关，这些都是群的正规性、幂零性和阿贝尔性等基本属性的指标。
在群论中，次正规子群是一个子群，它的正规化子（所有与之共轭的元素构成的子群）包含自身。非次正规子群则不满足这一条件，它们不一定是正规子群的子群，但当所有的非次正规子群都共轭时，这暗示着群有某种特殊的对称性或结构。这种性质可能会导致对群的其他重要性质有深入的了解，例如它的中心、中心化子和正规化子的结构，以及它是否属于某些特定的群类，如幂零群或阿贝尔群。
这篇论文的工作是有限群理论的一个贡献，通过研究非次正规子群的共轭性质，为理解和分类这类群提供了新的工具和洞察。这样的研究对于深化我们对有限群结构的理解，尤其是那些具有特殊子群关系的群，是非常有价值的。
