多重积分计算方法主要分为两大类：确定性数值积分方法和蒙特卡罗方法。在MATLAB中，常用的确定性数值积分方法有矩形公式、梯形公式和辛普森公式。对于单变量积分问题，这些方法通过将积分区间分成若干小区间来近似积分值。例如，梯形公式将区间分为n个小区间，每两个相邻的分点界定一个梯形，然后计算所有梯形面积的和来近似积分值。辛普森公式则通过在每个小区间上用二次多项式来近似被积函数，并利用其与真实函数值的差异来计算积分近似值。除了手动计算这些数值积分方法，MATLAB还提供了相应的内置函数，如trapz()和quad()，这些函数在对积分区间进行适当分割后，可以自动进行数值积分的近似计算。
随着积分重数的增加，即从单变量积分转向多重积分，计算复杂度显著增加。多重积分计算通常涉及两个或多个积分变量，问题变得更为复杂。MATLAB提供了dblquad()函数来计算二重积分，对于矩形区域，可以直接应用该函数进行积分计算。然而，对于非矩形的更一般区域，MATLAB中并没有现成的函数能够直接使用，需要依赖第三方工具箱或者自定义算法来实现。例如，HowardWilson与BryceGardner开发的数值积分工具箱中的quad2d()函数能够解决这类问题，但在最新的MATLAB版本中尚未提供。
蒙特卡罗方法（Monte Carlo method）提供了一种全新的角度来解决多重积分的计算问题。它属于概率数值方法，通过对随机数的模拟来进行数值积分。与确定性数值积分方法相比，蒙特卡罗方法不需要对积分区间进行特殊处理，且没有维度限制，适用于复杂或高维空间的积分问题。蒙特卡罗算法通常通过生成服从特定概率分布的随机数序列来进行积分的近似计算。
蒙特卡罗算法的核心思想是将积分问题转化为几何概率问题。它通过随机地在积分区域上投点，并计算这些点落在被积函数图形下方的概率，来估计积分值。一个基本的蒙特卡罗算法流程包括：首先确定积分区域和积分函数；然后在积分区域上随机生成点的坐标；接着根据积分函数判断每个点是否位于函数图形下方，并进行计数；最后利用这些点位于图形下方的概率与积分区域面积的乘积来估计积分值。蒙特卡罗算法的精度可以通过增加随机点的数量来提高，但计算成本也会随之增加。
在MATLAB中，蒙特卡罗算法可以通过向量化的编程方式实现，即利用MATLAB的向量和矩阵运算能力，将随机点生成、函数值计算和结果统计等步骤转化为向量或矩阵操作，以此提高算法的执行效率。MATLAB支持生成符合特定概率分布的随机数序列，如unifrnd()函数可以生成均匀分布的随机数，这些随机数用于模拟积分区域上点的坐标，进而在向量化的框架下进行快速计算。
在MATLAB环境下，多重积分可以通过确定性数值积分方法和蒙特卡罗方法进行计算。确定性方法在单变量积分计算中具有较高的效率和精度，但对多重积分而言，由于计算复杂度的激增，其效率和适用性会大打折扣。蒙特卡罗方法则突破了这一局限，它可以处理复杂被积函数的多重积分问题，尤其在高维空间中具有独特优势。然而，蒙特卡罗方法也有其缺点，如计算量大、收敛速度慢，但随着计算机性能的提升和算法的优化，这些缺陷正逐渐被克服。在实际应用中，可以根据具体问题的特点和需求，选择最适合的积分计算方法。
