任意形状覆盖的数值流形方法初步研究 (2013年)

在前期研究部分重叠的矩形覆盖基础上，首次提出基于任意形状覆盖的数值流形方法，其特点是:独特的数学覆盖形式，即任意形状的覆盖+条形的覆盖重叠区域；以独立覆盖为主的分析方式；单位分解函数表述的独特性及严格的插值性。对此方法展开初步研究，给出任意形状覆盖的基本形式，以及基于完全重叠覆盖和自由度之间约束关系的实现方法，算例分析初步验证了该方法的有效性。 ### 任意形状覆盖的数值流形方法初步研究 #### 一、引言 数值流形方法自1991年由石根华博士提出以来，因其独特的理论基础和实用价值而受到广泛关注。传统的数值流形方法通常采用有限元网格作为数学覆盖的基础，然而这种方法存在一些局限性，比如方程组线性相关问题以及难以高效处理复杂几何形状等问题。为此，本文提出了一种新的数值流形方法——基于任意形状覆盖的数值流形方法。 #### 二、研究背景与动机 传统数值流形方法的主要特点包括数学覆盖与物理覆盖的分离、通过局部覆盖函数定义全局场函数、以及局部覆盖函数的选择多样性等。尽管这种方法已经在许多工程问题中取得了成功，但仍有一些不足之处。例如，当采用高阶多项式作为局部覆盖函数时，会出现方程组的线性相关问题；另外，由于依赖于有限元网格，这种方法仍然面临着网格划分的问题，特别是在需要局部细化网格的情况下。 #### 三、新型数值流形方法的特点 ##### 1. 数学覆盖形式 新方法采用了一种独特的数学覆盖形式，即任意形状的覆盖加上条形的覆盖重叠区域。这种覆盖形式使得局部覆盖函数可以在独立区域内自由选择，而不会受到物理边界的限制。 ##### 2. 分析方式 该方法强调以独立覆盖为主的分析方式，独立覆盖之间通过较小的条形重叠区域来保持覆盖的连续性。这种方式不仅解决了线性相关问题，还提高了算法的效率。 ##### 3. 单位分解函数表述的独特性 单位分解函数在新方法中具有独特性，它不仅能够确保插值性质，还能够更好地适应不同形状的覆盖区域。 #### 四、实现方法 新方法通过完全重叠覆盖和自由度之间的约束关系来实现。这意味着每个覆盖区域都与相邻区域有一定重叠，并且通过这些重叠区域来协调不同覆盖之间的差异。此外，通过优化局部覆盖函数的选择，可以进一步提高方法的准确性和稳定性。 #### 五、算例分析 通过对一系列典型问题的算例分析，验证了该方法的有效性和可行性。这些算例涵盖了不同类型的物理问题，包括但不限于固体力学问题。结果表明，基于任意形状覆盖的数值流形方法能够在保证计算精度的同时，显著减少计算时间和资源消耗。 #### 六、结论 基于任意形状覆盖的数值流形方法是一种创新性的数值分析工具，它克服了传统方法的一些局限性。通过引入新的数学覆盖形式、分析方式以及单位分解函数的独特表述，该方法不仅能够解决线性相关问题，还能更好地适应复杂的几何形状。算例分析的结果也进一步证实了该方法的有效性。未来的研究方向可能包括进一步优化算法性能、扩展到更多类型的应用场景以及探索与其他数值方法的结合等。