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11 动量矩定理题解1
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2022-08-03
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解:(b)质量为 m,长为 l 的均质杆杆端与质量为 m 、半径为 r 的均质圆盘中心固结,绕水平轴 O 的作定轴转动,角速度为 。[解]⑴由动量矩的定义,可得
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O
(a)
r
C
十一、动量矩定理
11.1 试求下列刚体或系统对水平轴 O 的动量矩。
(a)质量为 m,半径为 r 的均质圆盘绕水平轴 O 作定轴转动,角速度为
。
解:
2 2 2
13
22
OO
L J mr mr mr
(b)质量为 m,长为 l 的均质杆杆端与质量为 m 、半径为 r 的均质圆盘中心固结,绕水平
轴 O 的作定轴转动,角速度为
。
解:
2 2 2
11
32
OO
L J ml mr ml
22
1
(8 3 )
6
l r m
(c)图示滑轮组,重物 A 和 B 质量分别为 m
1
和 m
2
;滑轮 O 的质量为 m
3
,半径为 r,可视
为均质圆盘。滑轮绕水平轴 O 的作定轴转动,角速度为
。(绳子不计质量和弹性。)
解:重物 A 和 B 速度
AB
v v r
,
12
2
1 2 3
1
2
O A B O
L m v r m v r J
m r r m r r m r
2
1 2 3
1
2
m m m r
O
(b)
r
A
O
r
(c)
A
B
A
v
B
v
1
m g
2
m g
11.2 如图图示,杆 CD 与 z 轴的夹角为
,杆长 CO = OD = l,杆端固结的小球 C、D 质
量均为 m,大小不计;系统绕铅直轴 z 转动的角速度为
,求
⑴ 杆 CD 不计质量时,系统对 z 轴的动量矩 ;
⑵ 均质杆 CD 质量为 2m 时,系统对 z 轴的动量矩。
[解] ⑴由动量矩的定义,可得
22
2 sin sin 2 sin
AB
L ml l m l
⑵杆和球对 AB 轴的转动惯量为
2 2 2 2
0
8
2 ( sin ) d 2 ( sin ) sin
3
l
AB
m
J x x m l ml
l
此系统对 AB 轴的动量矩为
22
8
sin
3
AB AB
L J m l
11.3 已知半径为 R,重量为 P 的均质圆盘,可绕 z 轴无摩擦地转动。一重量为 Q 的人在盘
上由 B 点按规律
2
2
1
ats
沿半径为 r 的圆周行走。开始时,圆盘和人静止。求圆盘的
角速度和角加速度。
[解] 研究整体,由于
( ) 0
z
M
F
,且系统初始静止,
R
B
O
o
r
v
e
v
z
r
2l
D
C
B
O
z
dx
ω
x
ω
所以系统对 z 轴的动量矩
0
z
L
,即圆盘和人对 z 轴的动量矩之和为零。
圆盘定轴转动,
2
1
1
=
2
zz
P
L J R
g
选人为动点,圆盘为动系,人相对圆盘的运动
2
2
1
ats
,相对速度
d
d
r
s
v at
t
,
由
a e r
v v v
式中
e
vr
,
a e r
v v v r at
人对 z 轴的动量矩
2
()
z
Q
L r at r
g
,
2
12
1
0, ( ) 0
2
z z z
PQ
L L L R r at r
gg
解得
22
2
2
QrPR
Qart
22
d2
d2
Qar
t PR Qr
11.4 图示离合器,轮 1 和 2 的转动惯量分别为 J
1
和 J
2
,初始时,轮 2 静止,轮 1 具有角
速度
0
。求⑴当离合器接合后,两轮共同转动的角速度;⑵若经过 t 秒后两轮的转速
才相同,离合器应有的摩擦力矩。
[解]
⑴ 该系统
( ) 0
z
M
F
,所以
0zz
LL
常量,即
1 2 1 0
()J J J
,
解得离合器接合后,两轮共同转动的角速度
21
01
JJ
J
⑵ 分别取 1、2 轮为研究对象,有
12
12
dd
,,
dd
ff
J M J M
tt
积分
0
12
0 0 0
d d , d d
tt
ff
J M t J M t
解得
tJJ
JJ
M
f
)(
21
021
A
C
D
2
1
0
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SeaNico
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