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第5章 二次型-21
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2022-08-03
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1、(定理1)数域P上任一二次型都可经 2、二次型的标准形的定义 3、(定理2)数域P上任一对称矩阵合同于
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标准形
二次型中非常简单的一种是只含平方项的二次型
它的矩阵是对角阵
平方和的形式?若能,如何作非退化线性替换?
任意二次型能否经过适当非退化线性替换化成
?
22 2
11 22 nn
dx dx dx
+ ++
1
2
12
00
00
(, , , )
000
n
n
d
d
diag d d d
d
=
证明: 略.(书P210)
一、二次型的标准形
过非退化线性替换化成平方和的形式.
1、(定理1)数域P上任一二次型都可经
2、二次型的标准形的定义
所变成的平方和形式
注:1)由定理1任一二次型的标准形是存在的.
2)可应用配方法得到二次型的标准形.
22 2
11 22 nn
dy dy dy+ ++
二次型 经过非退化线性替换
12
(, ,, )
n
fx x x
的一个标准形.
称为
12
(, ,, )
n
fx x x
则
解:作非退化线性替换
222
13 3223
2( )228yy yyyy=−−−+
22
1 2 13 23
224 8y y yy yy=−− +
1 23
2( )y yy++
12 1212 123
( , , , ) 2( ) ( ) 6( )
n
fxx x yyyy yyy= + −− −
11
22
33
110
1 10
001
xy
xy
xy
= −
即,
112
2 12
33
xyy
x yy
xy
= +
= −
=
例1、求
1 2 3 12 23 13
(, , )2 6 2f x x x xx xx xx=−+
的标准形.
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