随机过程第5周作业1
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2022-08-08
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随机过程第 5 周作业
周强 202128019427002 电子学院 119
1. 设
{
𝑿
𝒏
;
𝒏
≥
𝟎
}
是一齐次马氏链,状态空间为
𝑺
=
{𝟎,𝟏,𝟐}
,它的初始状态的概率分布为:
𝑷
{
𝑿
𝟎
=
𝟎
}
=
𝟏/𝟒,
𝑷
{
𝑿
𝟎
=
𝟏
}
=
𝟏/𝟐,
𝑷
{
𝑿
𝟎
=
𝟐
}
=
𝟏/𝟒
, 它的一步转移转移概率矩阵为:
𝑷
=
𝟏
𝟒
𝟑
𝟒
𝟎
𝟏
𝟑
𝟏
𝟑
𝟏
𝟑
𝟎
𝟏
𝟒
𝟑
𝟒
a) 计算概率:
𝑷
{
𝑿
𝟎
=
𝟎,
𝑿
𝟏
=
𝟏,
𝑿
𝟐
=
𝟏
}
;
解：
𝑃
{
𝑋
0
=
0,
𝑋
1
=
1,
𝑋
2
=
1
}
=
𝑃
{
𝑋
2
=
1|
X
1
=
1,
𝑋
0
=
0
}
𝑃
{
X
1
=
1,
𝑋
0
=
0
}
=
𝑃
{
𝑋
2
=
1|
X
1
=
1
}
𝑃
{
X
1
=
1
|
𝑋
0
=
0
}
𝑃
{
𝑋
0
=
0
}
=
1
3
×
3
4
×
1
4
=
1
16
b) 计算
𝒑
(𝟐)
𝟎𝟏
,
𝒑
(𝟑)
𝟏𝟐
。
解：
p
(2)
01
=
∑
𝑘
∈
𝑆
𝑝
(
1
)
0𝑘
𝑝
(
1
)
𝑘1
=
𝑝
(
1
)
0
0
𝑝
(
1
)
0
1
+
𝑝
(
1
)
0
1
𝑝
(
1
)
1
1
+
𝑝
(
1
)
0
2
𝑝
(
1
)
2
1
=
7
16
同理可得
𝑝
(
2
)
10
=
7
36
,
𝑝
(
2
)
11
=
4
9
,
𝑝
(
2
)
12
=
13
36
。
由
C
―
K
方程可知，
p
(3)
12
=
𝑘
∈
𝑆
𝑝
(
2
)
1
𝑘
𝑝
(
1
)
𝑘
2
=
𝑝
(
2
)
1
0
𝑝
(
1
)
0
2
+
𝑝
(
2
)
1
1
𝑝
(
1
)
1
2
+
𝑝
(
2
)
1
2
𝑝
(
1
)
2
2
=
4
9
×
1
3
+
13
36
×
3
4
=
181
432
2. 某通信系统由
𝒏
个中继站组成,从上一站向下一站传送数字信号 0 或 1 时,接收的正确率
为
𝒑
。如用
𝑿
𝟎
表示初始站发出的数字信号,用
𝑿
𝒌
表示第
𝒌
个中继站接收到的数字信号,试
证:
{
𝑿
𝒌
;𝟎
≤
𝒌
≤
𝒏
}
是一个马氏链,且有
𝑷
{
𝑿
𝟎
=
𝟏∣
𝑿
𝒏
=
𝟏
}
=
𝜶
+
𝜶
(
𝒑
―
𝒒
)
𝒏
𝟏
+
(𝟐
𝜶
―
𝟏)(
𝒑
―
𝒒
)
𝒏
其中:
𝜶
=
𝑷
{
𝑿
𝟎
=
𝟏
}
,
𝒒
=
𝟏
―
𝒑
。请说明上述条件概率的实际意义。
答：由题意知,此随机过程的状态空间为
S
=
{
0,1
}
。第
𝑘
个中继站接收到的信号仅仅与
第
𝑘
―
1
个中继站接收到的信号有关，即
𝑃
𝑋
𝑘
=
𝑥
𝑘
│
𝑋
𝑘
―
1
=
𝑥
𝑘
―
1
,…,
𝑋
0
=
𝑥
0
=
𝑃
𝑋
𝑘
=
𝑥
𝑘
│
𝑋
𝑘
―
1
=
𝑥
𝑘
―
1
其中
𝑘
=
0,1,…;
𝑥
𝑘
=
0,1
。因此
{
𝑋
𝑘
;0
≤
𝑘
≤
𝑛
}
是马氏链。
其一步转移概率矩阵为
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陈游泳
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