2017秋深圳概率论期末_试卷1

【知识点详解】 1. 事件的概率关系：描述中的第一题提到了事件A和B满足条件(|)(|)P B AP B A，这表明事件A和B互为对立事件，即A发生则B不发生，B发生则A不发生。根据对立事件的概率公式，我们可以得出(|)P B A = 1 - P(A)。 2. 泊松分布的性质：第二题中提到随机变量X服从参数为λ的泊松分布，并给出了条件24(3)3P Xe，可以推断出λ=3。泊松分布的期望E(X)和方差Var(X)都等于参数λ，所以2E(X) = 2λ = 2 * 3 = 6。 3. 独立随机变量与指数分布：第三题指出随机变量X和Y相互独立，且均服从参数为8的指数分布。指数分布的期望E(X)和E(Y)都是1/λ，因此对于X和Y，E(X) = E(Y) = 1/8。题目中要求的是min(X, Y)的期望，由于X和Y独立，所以min(X, Y)的期望等于两者期望的较小值，即E[min(X, Y)] = 1/8。 4. 二维正态分布的期望：第四题中二维随机变量(X, Y)服从联合概率密度函数(1,3,4,9,0)N，这是标准正态分布的参数，意味着X和Y分别服从均值为1和3，方差为4和9的正态分布，且它们的相关系数为0，表示X和Y独立。因此，2()E XY即求X和Y的乘积的期望，因为X和Y独立，所以E(XY) = E(X) * E(Y) = 1 * 3 = 3。 5. 条件概率：第五题涉及在(0, 1)区间内随机选取两个数，求其和小于5/6的概率。这个问题可以通过几何概率的方法解决，或者利用二维均匀分布的概率密度函数计算。设第一个数为x，第二个数为y，那么有0<x<1, 0<y<1且x+y<5/6。这个区域的面积就是概率。 二、选择题中的知识点： 1. 事件独立性：选项分析了不同情况下的事件独立性，包括事件的并、交以及补集与独立性的关系。 2. 分布函数：检查是否符合分布函数的性质，即非减、右连续且在无穷远处趋于1。 3. 切比雪夫不等式：用于估计随机变量偏离其期望值的概率范围，本题涉及两个正态分布随机变量的和。 4. 相关系数：衡量两个随机变量之间的线性相关程度，这里X和Y是硬币抛掷次数，它们完全互补，因此相关系数为-1。 5. 泊松分布与伯努利过程：泊松分布常用于描述单位时间内的独立事件发生次数，而伯努利过程描述的是单次试验成功概率，本题考察了这两个概念的结合。 三、抽样问题：这部分是统计学中的抽样分布问题，涉及二项分布和超几何分布。从甲箱子里抽取2件产品，考虑一等品和二等品的比例，再放入乙箱中，分析一等品数量的概率分布。 总结，这些题目覆盖了概率论与数理统计中的基本概念，包括事件的概率性质、随机变量的分布（尤其是泊松分布和正态分布）、独立性和相关性、切比雪夫不等式、分布函数的性质、抽样分布等。理解和掌握这些知识点是学习概率论与数理统计的基础。