题目与分析1

在本题目中，我们主要探讨了两种数值优化方法——牛顿法和高斯-牛顿法，以及它们在解决最小二乘问题中的应用。最小二乘法是一种常用于拟合数据点的数学方法，旨在找到一组参数使得预测值与实际观测值之间的残差平方和最小。这种技术广泛应用于各种领域，例如物理学、工程学、经济学和统计学，用于建立模型并估算未知参数。 题目一涉及非线性方程组的求解。非线性方程组可以通过牛顿法和高斯-牛顿法来解决。牛顿法是一种迭代方法，它利用函数的切线来逼近解，而高斯-牛顿法是牛顿法的一种简化版本，它假设函数的Hessian矩阵为恒定，从而简化了计算。在实际应用中，高斯-牛顿法通常比牛顿法更高效，因为它避免了Hessian矩阵的计算，特别是在大型问题中，Hessian矩阵的计算可能是非常耗时的。在案例中，两个方法都成功地找到了相同的解，但牛顿法需要更多的迭代次数。 题目二中，我们需要确定物理量之间的依赖关系。给定的物理量\( y \)与\( t_1 \)和\( t_2 \)的关系是一个多项式函数，其中\( x_1, x_2, \)和\( x_3 \)是待定参数。通过最小二乘法，我们可以找到这些参数的最佳估计值，使得模型预测的\( y \)值与观测值最接近。在本例中，使用牛顿法和高斯-牛顿法得到了相似的结果，同时也利用MATLAB的cftool进行曲线拟合。然而，最初使用变形的残差函数导致了与cftool的拟合结果存在较大差异。问题在于，变形后的残差函数并未保持原始问题的最小化目标。在修正了残差函数并使用原始表达式后，高斯-牛顿法的求解结果与cftool的拟合结果一致，这验证了程序的正确性。 总结来说，最小二乘法是一种强大的工具，用于拟合数据和解决非线性问题。牛顿法和高斯-牛顿法是实现这一目标的有效算法，但需要注意它们的适用场景和潜在的计算挑战。在实际应用中，正确构建和使用残差函数至关重要，以确保求解的参数对应于原始问题的最优解。对于大型或复杂的优化问题，软件工具如MATLAB的cftool可以提供便利，但理解这些方法的内在工作原理有助于更好地解释和验证结果。