第14周习题课 广义积分 题目(1)1
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2022-08-03
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1
习题课 广义积分
1. 判断下列广义积分的敛散性.
(1)
dx
x
xx
1
5
1
ln
(2)
dx
x
0
sin
1
(3)
dx
x
x
p
0
arctan
(4)
0
1
11
1ln dx
xx
(5)
2
0
cossin
xx
dx
qp
(6)
0
)1ln(
dx
x
x
p
（7）
1
0
2
)1(
ln
dx
xx
x
（8）
0
2
sin
dx
x
x
p
（9）
0
][
2
)1( dx
x
2. 证明：如果
)(xf
在
),[ a
上非负且一致连续，
a
xxf d)(
收敛，则
0)(lim
xf
x
．
如果将非负条件去掉，是否仍然有
0)(lim
xf
x
？如果是，请证明；如果不是，请举反
例。
3. 证明以下命题：
（1）
( )d
a
f x x
收敛，
lim ( )
x
fx
存在，证明：
lim ( )=0
x
fx
.
（2）
( )d
a
f x x
收敛，
)(xf
在
[ , )a
上单调，证明：
lim ( ) 0
x
fx
.
（3）
( )d
a
f x x
收敛，
)(xf
在
[ , )a
上单调，证明：
lim ( )=0
x
xf x
.
（4）
)(xf
在
[ , )a
上连续可微，
( )d
a
f x x
，
( )d
a
f x x
均收敛，证明：
lim ( )=0
x
fx
.
（5）
)(xf
在
[ , )a
上可微，单调，且
( )d
a
f x x
收敛，则
( )d
a
xf x x
收敛.
（6）
)(xf
在
(0,1]
上单调，且
0
lim ( )=+
x
fx
，且
1
0
( )df x x
收敛，证明：
0
lim ( )=0
x
xf x
.
（7）设
a
dxxf )(
绝对收敛，且
lim ( )
x
f x
0
，证明
f x dx
a
2
( )
收敛。
（8）设
f x( )
单调下降，且
lim ( )
x
f x
0
，证明：若
f x( )
在
[ , )0
上连续，则反常积
分
f x x dx( )sin
2
0
收敛。
4. 讨论
p
为何值时，广义积分
sin
sin
x
x x
dx
p
1
绝对收敛、条件收敛、发散。
5. 判断
0
1
x
dx
x
收敛性，其中
0
。
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