东南大学线性代数试题解答01-09全详解1

【线性代数试题详解】 线性代数是数学中的一个重要分支，主要研究向量、矩阵、线性变换等概念及其相互关系。本试题解答涵盖了线性代数的基础知识点，包括向量运算、矩阵运算、行列式计算、矩阵的逆及伴随矩阵、线性相关性等。 1. 向量的内积与乘积： 题目中提到了向量α = (1, 2) 和 β = (1, -1)，它们的内积定义为αβT = α·β = 1×1 + 2×(-1) = -1。另外，αTβ表示α的转置与β的乘积，是一个2x2的矩阵，通过逐元素相乘得到(1, -1) * (1, 2) = [1 * 1, 1 * -1, -1 * 2, -1 * 1] = [1, -1, -2, -1]。对于(αTβ)999，实际上是(αTβ)矩阵自乘999次，最终结果是αTβ的998次幂乘以-1（因为αTβ是个反对称矩阵，其平方为-1）。 2. 矩阵的行列式及逆矩阵： 矩阵A和B的行列式分别为|A| = -1和|B| = 70。行列式的计算遵循特定的规则，如上三角行列式可以直接取对角元素的乘积。矩阵乘积的行列式等于各个矩阵行列式的乘积，所以|AB^-1| = |A| * |B^-1| = (-1) * 1/70 = -1/70。 3. 线性相关性： 向量α1, α2, α3线性相关意味着它们不能构成空间的基，即秩小于向量的数量。这里秩小于3当且仅当系数矩阵的行列式为0。计算1 3 1, 2 3 2, 1 1 k的行列式，发现当k=0时，行列式为0，因此k=0时向量线性相关。 4. 矩阵的伴随矩阵： 2x2矩阵A的伴随矩阵A*是矩阵A的元素按位取反后构成的2x2矩阵，再进行转置，即A* = |A| * adj(A)，其中adj(A)是A的余子矩阵的负指数。对于矩阵A = [a, b; c, d]，其伴随矩阵为A* = d * (-b) - (-c) * a = ad - bc。 5. 矩阵的逆： 已知矩阵A和A+E都可逆，矩阵G = E - (A+E)^-1，求G^-1。根据矩阵乘法规则，G = E - (A+E)^-1可以化简为G = A(A+E)^-1，进而求得G^-1 = (A+E)^-1 * A^-1 = E + A^-1。 6. 分块矩阵的逆： 分块矩阵的逆可以通过行变换或列变换求解。对于分块矩阵( A | E | E | O )，其逆矩阵可以通过一系列的行变换或列变换求得，最终得到( O | E | E | -A )。 以上解答详细介绍了线性代数中的基本概念和计算方法，包括向量的运算、矩阵的行列式和逆、线性相关性以及分块矩阵的逆。这些知识点是线性代数学习的基础，对于理解和应用线性代数至关重要。