第3章线性模型2(1)2

线性模型是数据分析和机器学习领域中基础且重要的工具，特别是当我们处理分类问题时，逻辑回归（Logistic Regression）是线性模型的一种延伸，它能够处理离散的输出变量，如二分类问题中的“是”或“否”。本章我们将深入探讨逻辑回归的对数似然函数以及其在实际应用中的案例。 首先，对于类别标签为+1和-1的情况，逻辑回归的对数似然函数可以这样推导。假设我们有一个样本集，每个样本由特征向量x和对应的类别标签y（y∈{-1,1}）。逻辑回归模型通过线性组合的形式给出预测概率p，即p=σ(wTx+b)，其中w是权重向量，b是偏置项，σ是Sigmoid函数，将实数值映射到(0,1)之间。对数似然函数通常用于最大化模型对数据的拟合程度，其形式为： L = Σ log(p^y_i * (1-p)^(1-y_i)) 这里，y_i表示第i个样本的类别标签，如果是正例（+1），则p^y_i=p；如果是负例（-1），则p^y_i=1-p。对数似然函数鼓励模型正确分类样本，因为对于正例，当p接近1时，log(p)趋向于正无穷大；对于负例，当p接近0时，log(1-p)也趋向于正无穷大。因此，优化对数似然函数的过程就是寻找使所有样本分类概率最大化的w和b。 在Exercise 3.8中，我们需要证明误分类的样本对梯度的贡献更大。在逻辑回归中，梯度是关于参数w和b的对数似然函数的偏导数。对于一个被错误分类的样本，其实际标签y与预测概率p之间的差异较大，导致对数似然函数的梯度绝对值更大，因此在梯度下降法中，这样的样本会更显著地影响参数更新，从而促使模型更快地收敛到最优解。 Exercise 3.9提供了一个具体的数据集T，包含5个样本，每个样本有两个特征x，并有对应的二分类标签y。在感知机算法中，误分类次数k是衡量模型在训练集上性能的一个指标。感知机通过迭代更新权重来最小化误分类次数，直到没有误分类样本为止。在这个例子中，我们可以逐一检查每个样本，看它们是否被正确分类，从而确定k的最大值。 在实践题Exercise 3.2中，我们面临一个实际的问题：预测NBA篮球比赛的胜负。这个问题可以被建模为一个二分类问题，使用逻辑回归来解决。数据集包括了每个队伍在2015-2016赛季的平均表现统计，以及对局信息。通过这些数据，我们可以构建一个模型，预测2016-2017赛季每场比赛的胜负。在处理这个任务时，我们需要预处理数据，可能包括标准化特征、编码分类变量、选择特征等步骤，然后训练逻辑回归模型，最后评估模型的性能并进行预测。 总的来说，线性模型，特别是逻辑回归，是解决分类问题的强大工具。通过对数似然函数的优化，模型能够适应数据的分布，同时，通过梯度下降等优化方法，我们可以找到最佳的模型参数。在实际应用中，如NBA比赛结果预测，我们需要结合领域知识，合理处理和分析数据，以实现准确的预测。