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ls08 群论1
ls08 群论1
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第八章 群论在研究代数系统时，可以将结合律看成是代数系统的基本性质，并且将具有相同性质的代数集中研究，从而形成了很多特定的代数系统，如半群，群，环，域，格，布尔
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1/73
第八章
群论
在研究代数系统
时，可以将结合律
看成是代数系统
的基本性质，并
且将具
有相同性质
的代数
集中研
究，从而形成了
很多特定的代数系
统，如半群，
群，环，域，格
，布尔
代数等等。
而群是最早被研
究的代
数系统，半
群的概
念则是群
的理论发展之后
才引进的。
2/73
8.1
半群
•
1
.
概念
•
定义
8.1
：
设
<S,*>
是代数系统，
*
是二元运算，如
果
*
运算
满足结合律，则称它为半群
(S
emigr
ou
ps)
例：
•
例
8
-1
：
(1)
设
，则
<
S,*>
是
半群
(*
矩阵乘法
)
不是
是半群
，
，
，
−
+
,
,
),
(
,
,
Z
S
S
P
Z
N
S
=
0
,
,
|
0
0
a
R
b
a
b
a
S
，
不
封
闭
不
是
半
群
，
是
半
群
。
矩
阵
乘
法
满
足
结
合
律
，
封
闭
，
又
，
且
，有
证
：
对
任
意
的
S
b
b
b
a
b
a
S
S
S
b
a
a
a
a
a
b
a
a
a
b
a
b
a
S
b
a
S
b
a
+
=
−
+
+
=
0
0
0
0
0
0
0
,
)
2
(
,
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
,
0
0
2
1
2
1
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
1
2
2
1
1
3/73
8.1
半群
•
2
.
半群的幂运算
设
x
为半
群
<S,*>
中的元素，
x
的
n
次幂定义
如下：
由于半群满足结
合律，所以可用归
纳法证明
，如果
，则称
x
是
<S,*>
的幂等元。
•
定理
8.1
：
若
<S,*>
是半群，
S
是有限集合，则称
S
中必含有幂等元
。
+
+
=
=
Z
n
x
x
x
x
x
n
n
1
1
)
2
(
:
)
1
(
mn
n
m
n
m
n
m
x
x
x
x
x
=
=
+
)
(
x
x
=
2
4/73
8.1
半群
b
b
b
a
b
S
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
i
kp
k
p
i
q
a
a
a
a
a
a
a
i
j
p
a
a
i
j
S
S
a
a
S
a
S
kp
kp
kp
kp
p
kp
p
p
kp
p
kp
q
p
q
i
p
j
i
j
i
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
−
=
=
，使得
中
存
在
元
素
即在
，则
，使得
，
所
以
存
在
因为
所
以
：
，则有
令
。
，使得
是
有
限
集
合
，
所
以
必
有
而
，有
是
半
群
，
则
证
明
：
因
为
2
3
2
)
(
1
1
)
(
,
,
,
,*
5/73
8.1
半群
•
3
.
特殊半群
•
定义
8.2
：
如果半群
<S,*>
中二元运算
*
是可
交换的
，则称
<S,*>
是可交换半群；如：
<Z,
+>
，
<Z,
×
>
，
<
P(S),
>
可交换半群
，
不是。
•
定义
8.3
：
含有关于
*
运算幺
元的半群
<S,
*>
，称它
为独异点
(
monoid
)
，或含幺半群，常记作
<
S,*
,e>
例：
<Z,
+,0>
，
<Z,
×
,1>
，
<
P(S)
,
, >
是独异点
，
不是。
➢
对于独异点，一
般规定，
,
S
S
,
,
,
,
E
A
S
Z
I
S
)
(
0
S
a
e
a
=
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