概率论与数理统计复习资料_b1a431

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《概率论与数理统计》是一门研究随机现象统计规律性的数学学科，它在很多领域都有广泛的应用，如自然科学、社会科学、工程技术等。本复习资料主要涵盖了第一章的基础知识，包括随机试验、样本空间、随机事件及其关系以及概率的基本概念。 随机试验（E）是指在相同条件下可以重复进行的实验，试验结果具有多种可能性。每个试验有且只有一个结果出现，但不能预知每次试验的确切结果。样本点（ω）是随机试验的每一个可能出现的结果，而样本空间（Ω）是所有样本点的集合，即所有可能结果的总体。 随机事件是由样本空间中的多个样本点组成的集合，它是样本空间的一个子集。事件之间存在多种关系，例如： 1. 相互独立事件：两个事件A和B相互独立意味着它们的发生不受彼此的影响，即P(AB)=P(A)P(B)。 2. 对立事件：事件A和B互为对立，表示A发生则B不发生，反之亦然，A∪B=Ω且A∩B=∅。选项D表明，如果A和B是互为对立事件，那么它们构成样本空间的一个剖分。 事件的运算包括交、并和差。事件的交（A∩B）表示两个事件同时发生，而事件的并（A∪B）表示至少有一个事件发生。事件的差（A-B）表示A发生但B不发生。 完备事件组指的是由一系列两两互不相容的事件构成，且这些事件的并集等于样本空间。 古典概型是一种概率模型，适用于有限且等可能的样本点情况。在这种模型中，事件A的概率P(A)等于事件A包含的样本点数除以样本点总数。例如，将3个球随机投入4个杯子中，计算最多有1个球的杯子的概率或最多有2个球的杯子的概率。 概率的公理化定义是概率理论的基础，它规定了概率函数P(A)应满足的三个基本条件： 1. 非负性：P(A)≥0； 2. 规范性：P(Ω)=1； 3. 有限可加性：对于互斥事件A1, A2, ..., An，有P(A1∪A2∪...∪An)=P(A1)+P(A2)+...+P(An)。 这些概念和性质构成了概率论与数理统计的基础框架，通过深入理解和应用，我们可以分析和预测各种随机现象的行为。在实际问题中，如统计推断、风险评估、机器学习等领域，这些理论起着至关重要的作用。
《概率论与数理统计》
第一章 随机事件与概率
基本概念：
随机试验 E----指试验可在相同条件下重复进行，试验的结果具有多种可能性（每次试验有且仅有一个结
果出现，且事先知道试验可能出现的一切结果，但不能预知每次试验的确切结果
样本点 ---随机试验 E 的每一个可能出现的结果
样本空间----随机试验 E 的样本点的全体
随机事件-----由样本空间中的若干个样本点组成的集合，即随机事件是样本空间的一个子集
必然事件---每次试验中必定发生的事件。 不可能事件--每次试验中一定不发生的事件。
事件之间的关系：
⑧A，B 相互独立 P(AB)=P(A)P(B)
例 1 事件 A，B 互为对立事件等价于（ D ）
A、A，B 互不相容 B、A，B 相互独立 C、A∪B＝Ω
D、A，B 构成对样本空间的一个剖分
例 2 设 P(A)=0，B 为任一事件，则（ C ）
A、A= B、AB C、A 与 B 相互独立 D、A 与 B 互不相容
例 3.设甲乙两人朝同一目标射击，设 A＝“甲命中目标且乙未命中目标”，则：
A
=（ D ）
A) 甲未命中目标且乙命中目标 B) 甲乙都没命中目标
C) 甲未命中目标 D) 甲未命中目标或乙命中目标
事件之间的运算：
事件的交 AB 或 A∩B
事件的并 A∪B
事件的差 A-B 注意： A-B = A
B
‾
= A-AB = (A∪B)-B
A
1
,A
2
,…,A
n
构成的一个完备事件组(或分斥)指 A
1
,A
2
,…,A
n
两两互不相容，且
∪
i=1
n
A
i
=
例 1 设事件 A、B 满足 A∩B¯ =，由此推导不出 (D)
A、AB B、A¯ B¯ C、A∪B=B D、A∩B=B
例 2 若事件 B 与 A 满足 B – A=B，则一定有 (B)
A、A= B、AB= C、AB¯ = D、B=A¯
运算法则：
交换律 A∪B=B∪A A∩B=B∩A
结合律(A∪B)∪C=A∪(B∪C) (A∩B)∩C=A∩(B∩C)
分配律(A∪B)∩C=(AC)∪(BC) (A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)
对偶律
A∪B
‾‾
=
A
‾
∩
B
‾
A∩B
‾‾
=
A
‾
∪
B
‾
文氏图
事件与集合论的对应关系表：
记号
概率论
集合论
样本空间，必然事件
全集
不可能事件
空集
基本事件
元素
A
事件
全集中的一个子集
A
‾
A 的对立事件
A 的补集
AB
事件 A 发生导致事件 B 发生
A 是 B 的子集
A=B
事件 A 与事件 B 相等
A 与 B 相等
A∪B
事件 A 与事件 B 至少有一个发生
A 与 B 的并集
AB
事件 A 与事件 B 同时发生
A 与 B 的交集
A-B
事件 A 发生但事件 B 不发生
A 与 B 的差集
AB=
事件 A 与事件 B 互不相容（互斥）
A 与 B 没有相同的元素
古典概型：
古典概型的前提是={
1
,
2
,
3
,…,
n
,}, n 为有限正整数，且每个样本点
i
出现的可能性相等。
P(A)=
A包含样本总个数
样本点总数
例 1 设 3 个球任意投到四个杯中去，问杯中球的个数最多为 1 个的事件 A
1
，最多为 2 个的事件 A
2
的概率。
[解]：每个球有 4 种放入法，3 个球共有 4
3
种放入法，所以||=4
3
=64。
(1)当杯中球的个数最多为 1 个时，相当于四个杯中取 3 个杯子，每个杯子恰有一个球，所以|A
1
|= C
4
3
3！
=24；则 P(A
1
)=24/64 =3/8. (2) 当杯中球的个数最多为 2 个时，相当于四个杯中有 1 个杯子恰有 2 个
球(C
4
1
C
3
2
)，另有一个杯子恰有 1 个球(C
3
1
C
1
1
)，所以|A
2
|= C
4
1
C
3
2
C
3
1
C
1
1
=36；则 P(A
2
)=36/64 =9/16
例 2 从 1,2,…,9，这九个数中任取三个数，求：(1)三数之和为 10 的概率 p
1
；(2)三数之积为 21 的倍数的
概率 p
2
。
[解]：p
1
=
4
C
9
3
=
1
21
, p
2
=
C
3
1
C
5
1
+C
3
2
C
9
3
=
3
14
古典概型基本性质：
(1)非负性，对于任一个事件 A，有 P(A)0;
(2)规范性:P()=1 或 P()=0;
(3)有限可加性：对两两互斥事件 A
1
,A
2
,…,A
n
有 P(A
1
∪A
2
∪…∪A
n
)=P(A
1
)+ P(A
2
)+…+ P(A
n
)
概率的公理化定义：
要求函数 P(A)满足以下公理：
(1)非负性，有 P(A)0;
(2)规范性:P()=1;
(3)可列可加性：对两两互斥事件 A
1
,A
2
,…,A
n
有 P(A
1
∪A
2
∪…∪A
n
)=P(A
1
)+ P(A
2
)+…+ P(A
n
)
概率公式：
求逆公式 P(
A
‾
)=1- P(A)
加法公式 P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)
P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)
求差公式：P(A-B)=P(A)-P(AB); 当 AB 时，有 P(A-B)=P(A)-P(B)
注意： A-B = A
B
‾
= A-AB = (A∪B)-B
条件概率公式：P(A|B)=
P(AB)
P(B)
; (P(B)>0)
P(A|B)表示事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率。
乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)= P(B)P(A|B) (其中 P(A)>0, P(B)>0)
一般有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) (其中 P(AB)>0)
全概率公式：P(A)=
i=1
n
P(A|B
i
)P(B
i
) 其中 B
1
,B
2
,…,B
n
构成的一个分斥。
贝叶斯公式：P(A
k
|B)=
P(B|A
k
)P(A
k
)
P(B)
=
P(B|A
k
)P(A
k
)
i=1
n
P(B|A
i
)P(A
i
)
（由果溯因）
例：在一个肿瘤治疗中心，有大量可能患肺癌的可疑病人，这些病人中吸烟的占 45%。据以往记录，吸烟
的可疑病人中有 90%确患有肺癌，在不吸烟的可疑病人中仅有 5%确患有肺癌
（1）在可疑病人中任选一人，求他患有肺癌的概率;
（2）在可疑病人中选一人，已知他患有肺癌，求他是吸烟者的概率.
解 ：设 A={患有肺癌}, B={可疑病人吸烟}, 则由条件得：
P(B)=0.45, P（
B
）=0.55,
( ) 0.9P A B
,
( ) 0.05P A B
.
（1）由全概率公式得：
( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P A B P B P A B P B
=0.68.
（2）由贝叶斯公式得：
.
2.在一个每题有 5 个答案可供选择的测验题中，假如有 80%的学生知道指定问题的正确 答案，
不知道正确答案的作随机猜测，求：
1）任意指定的一个学生能正确回答率;（5 分）
2）已知指定的问题被正确解答，求此是靠随机猜测的概率
解 设 A={正确回答}, B={随机猜测}, 则由条件得：
P(B)=0.2, P（
B
）=0.8,
( ) 1/5P A B
,
( ) 1P A B
.
（1）由全概率公式得：
( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P A B P B P A B P B
=0.84.
（2）由贝叶斯公式得：
( ) ( )
( ) 1
( ) 0.0476.
( ) ( ) 21
P A B P B
P AB
P B A
P A P A
3.某人从甲地到乙地，乘火车、轮船和飞机来的概率分别为 0.2、0.4、0.4，乘火车来迟到的概率为 0.5，
乘轮船来迟到的概率为 0.2，乘飞机来不会迟到. 试求：
（1）他来迟到的概率是多少？(5 分)
（2）如果他来乙地迟到了，则他是乘轮船来的概率是多少？(5 分)
解:设 A={迟到}, B1={乘火车}, B2={乘轮船}, B3={乘飞机}, 则由条件得：
P(B1)=0.2, P(B2)=0.4, P(B3)=0.4,
( 1) 0.5P A B
,
( 2) 0.2P A B
,
( 3) 0P A B
. （3 分）
（1）由全概率公式得：
( ) ( 1) ( 1) ( 2) ( 2) ( 3) ( 3)P A P A B P B P A B P B P A B P B
0.18. （7 分）
（2）由贝叶斯公式得：
( 2) ( 2)
( 2) 4
( 2 ) 0.44.
( ) ( ) 9
P A B P B
P AB
P B A
P A P A
（10 分）
4.将两种信息分别编码为 A 和 B 传递出去，由于信道存在干扰可能导致收到的信息与发送的不一致。设接
收站收到信息时，信息 A 被误收为 B 的概率是 0.02,而 B 被误收为 A 的概率是 0.01。整个传送过程中，信
息 A 与 B 传送次数比为 2 :1，(1)求收到信息是 A 的概率;(8 分)
(2)试求当收到信息是 A 时，问原发信息也是 A 的概率.(7 分)
一、 解 设 A={收到信息是 A}, B1={发出信息为 A}, B2={发出信息为 B}，则由条件得：
P(A|B1)=0.98, P(A|B2)=0.01, P（B1）=2/3，P（B2）=1/3 （3 分）
（1）由全概率公式得：
P（A）=0.98
2/3+0.01
1/3
0.66 （8 分）
（2）由贝叶斯公式得：
P（B1|A）=
66.0
3/298.0
（3 分）
=
197
196
（7 分）
概论的性质：
应用题：
若事件
BA、
相互独立，且
5.0)( AP
，
25.0)( BP
，则
)( BAP
= 0.625
例 1 设两两相互独立的三个事件 A, B 和 C 满足条件：ABC=，P(A)=P(B)=P(C)<1/2, 且已知
P(A∪B∪C)=9/16，则 P(A)= 。
[解]: P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-[P(AB)+P(AC)+P(BC)]+P(ABC),
令 P(A)=x, 则 3x –3x
2
=9/16 16x
2
-16x+3=0 x=1/4 或 3/4(舍去) 则 P(A)=1/4
例 2 某射击队共有 20 个射手，其中一级射手 4 人，二级射手 8 人，三级射手 7 人，四级射手 1 人，一、二、
三、四级射手能够进入正式比赛的概率分别是 0.9、0.7、0.5 和 0.2，求任选一名选手能进入正式比赛的
概率。
[解]:设 A
k
=选中第 k 级选手, k=1,2,3,4，B=进入正式比赛。由已知 P(A
1
)=1/5, P(A
2
)=2/5, P(A
3
)=7/20,
P(A
4
)=1/20; P(B|A
1
)=0.9, P(B|A
2
)=0.7, P(B|A
3
)=0.5, P(B|A
4
)=0.2. P(B)=P(A
1
)P(B|A
1
)+ P(A
2
)P(B|A
2
)+
P(A
3
)P(B|A
3
)+ P(A
4
)P(B|A
4
)=1/50.9+2/50.7+7/200.5+1/200.2=0.645
例 3 某物品成箱出售，每箱 20 件，假设各箱中含 0、1 件次品的概率分别为 0.8 和 0.2，一顾客在购买时，
他可以开箱，从箱中任取三件检查，当这三件都是合格品时，顾客才买下该箱物品，否则退货。试求：（1）
顾客买下该箱的概率 ；
（2）顾客买下该箱物品，问该箱确无次品的概率 。
[解]:设事件 A
0
—箱中 0 件次品, A
1
—箱中 1 件次品，事件 B—买下该箱。由已知 P(A
0
)=0.8, P(A
1
)=0.2,
P(B|A
0
)=1, P(B|A
1
)=19/20 18/19 17/18=17/20,
(1) =P(B)= P(A
0
)P(B|A
0
)+ P(A
1
)P(B|A
1
)=0.81+0.27/20=0.97 ;
(2) =P(A
0
|B)= P(A
0
B)/P(B)= P(A
0
)P(B|A
0
)/P(B)=0.8/0.97= 0.8247
例 4.设 A、B、C 为三个事件，A 与 B 互不相容， 且 C
A, 则必有（ B ）
A) P(A C)＝0 B) P(B C) = 0
C ) P(A＋C)＝0 D). P(B＋C)＝0
例 5. 设一批产品共有 1000 个，其中 50 个次品，从中随机地不放回地选取 500 个产品，X 表示抽到次品的
个数，则 P(X=3)=（ A ）
（A）
500
1000
497
950
3
50
C
CC
（B）
500
1000
497
950
3
50
A
AA

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