第10章曲线积分与曲面积分内容提要1
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2017/6/4
1
第10章 曲线积分与曲面积分
（一）主要定义
( )( ( , )
i i i i
f M M
0
1
( , ) lim ( , )
n
i i i
L
i
f x y ds f s
0
1
( , , ) lim ( , , )
n
i i i i
i
f x y z ds f s
i
si ,其中 为第 个小弧段的长度
( , , )) ( )
,.
i i i
Li
n
或 表示 或 上第 个弧段上的任意一
点 表示 个弧段中最长的一段弧的长度
1. 对弧长的曲线积分
设 f (x , y)和 f (x , y , z)分别是定义在平面上光滑曲
线L和空间光滑曲线 上的有界函数, 则它们在各自曲
线上对弧长的曲线积分, 分别定义为(若右端极限存在)：
:2.对坐标的曲线积分
L
分别是定义在光滑的平面有向曲线 和空间有向曲
线 上的向量函数,
( , ) ( , ) ( , ) ,
( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) .
f x y P x y i Q x y j
F x y z P x y z i Q x y z j R x y z k
设
,,P Q R且 都是有界函数,
:则它们在各自曲线上对坐标的曲线积分定义为
( , ) ( , ) ( )
L L L
f ds P x y dx Q x y dy ds dxi dyj
( , , ) ( , , ) ( , , )
()
F ds P x y z dx Q x y z dy R x y z dz
ds dxi dyj dzk
设下面右端极限存在,定义
3. 对面积的曲面积分:
0
1
0
1
( , ) lim ( , )
( , , ) lim ( , , )
n
i i i
L
i
n
i i i i
i
P x y dx P x
P x y z dx P x
x
.都称为在相应曲线上对坐标 的曲线积分
y,z类似地可以写出对坐标 的曲线积分的定义
()f x, y,z Σ设 是定义在光滑曲面 上的有界函数,
0
1
( , , ) lim ( , , )
n
i i i i
i
f x y z dS f S
()f x,y,z Σ则 在 上对面积的曲面积分定义为(设
右端极限存在,以下同此)
( ) ( ) ( ) ( )F x,y,z P x,y,z i Q x,y,z j R x,y,z k
P,Q,R
= + +
Σ是定义在 上的向量函数, 且 在 上有界,
, ( , , )
i i i i
Si ξi
其中 为第 个小曲面块的面积 点 为第 个
P,Q,R则函数 对坐标的曲面积分可表示为
小曲面块上的任意一点 表示n个小曲面块诸直径,
中最大者.
4. 对坐标的曲面积分:
Σ设 为一张光滑的有向曲面
( , , ) ( , , ) ( , , )
()
FdS P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy
dS dydzi dz dx j dxdyk
0
1
( , , ) lim ( , , )( )
,,
n
i i i i yz
i
P x y z dydz P S
P y z
其中
称为 对坐标 的曲面积分
0
1
( , , ) lim ( , , )( )
n
i i i i zx
i
Q x y z dzdx Q S
( ) (
,
i yz i
S i S
yOz
为第 个小曲面块 也表示相应的面积)
在 面上的投影
( , , ) ,
.
i i i i
Sn
为 上的任意一点 为 个曲面块的
最大直径长
类似地有
0
1
( , , ) lim ( , , )( )
n
i i i i xy
i
R x y z dxdy R S
,,Q R z x x y分别称为 和 对坐标 和 的曲面积分.
5. : ,
, cos cos cos
A ndS A Pi Qj Rk
n n i j k
通量 式中
为 单位向量
6. div
P Q R
A
x y z
散度
7. : ,Pdx Qdy Rdz
环流量
的正向与 的侧符合右手定则
FelaniaLiu
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