第8章-高级搜索树1

在本章节中，我们将探讨高级搜索树，特别是关于伸展树（Splay Tree）的一些高级特性。伸展树是一种自调整的二叉查找树，它通过旋转操作来改善最近访问的节点的访问效率。题目[8-1]和[8-2]分别关注了伸展树在处理相等元素和操作复杂度上的问题。 首先，[8-1]题要求扩展Splay模板类，使其能够支持存储和删除多个具有相同值的节点。原有的search(e)和remove(e)接口应该修改，以便它们分别查找和删除与给定值e相等的任何节点。为了实现这个功能，我们需要新增searchAll(e)接口来查找所有等于e的节点，以及removeAll(e)接口来删除所有这些节点。这涉及到对树的遍历以及正确处理相同值节点的逻辑，确保不丢失任何重复项。 接下来，[8-2]题涉及到了伸展树操作的分摊时间复杂度。要证明所有基本操作的分摊时间复杂度为O(logn)，我们需要采用分摊分析法。分摊分析是一种评估算法性能的方法，它考虑的是操作序列的整体效果，而不是单个操作。在这个问题中，我们引入势能分析（Potential Analysis），这是一种类似于物理学中势能的概念，用来量化伸展树在不同状态下的“潜在”成本。 势能函数(S)表示树S的势能，它可以是树中节点的某种属性的函数，例如节点的子节点数量。当执行一次操作后，树从S变为S'，势能的变化为 = (S') - (S)。通过累加所有操作的势能变化，我们可以得到整个过程的总势能变化，这与物理学中的势能守恒原理类似。 设第i次操作的实际时间复杂度为Ti，势能变化为i，那么分摊复杂度Ai定义为Ti加上势能变化，即Ai = Ti + i。总的实际运行时间不会超过总分摊运行时间，因此分摊复杂度可以作为一个上界。R. E. Tarjan提出了一种势能函数，即每个节点v的势能为其后代的数量的对数，即(S) = vS log|v|。通过证明在各种旋转操作中，势能变化的3倍足以覆盖实际所需时间，他证明了伸展树的单次操作分摊时间复杂度为O(logn)。 具体来说，对于zig、zig-zag和其他旋转操作，我们可以逐一分析它们对势能的影响，并证明在每种情况下，实际时间复杂度都可被势能变化的适当倍数所覆盖。例如，zig操作（单旋）的时间复杂度为O(1)，而势能的变化不超过节点v的势能变化，因此满足分摊复杂度的要求。zig-zag操作（双旋）虽然涉及更多节点，但通过势能分析，同样可以得出其分摊复杂度为O(logn)。 总结来说，伸展树通过自调整能力优化了查找和删除操作，而分摊分析和势能概念的运用则揭示了其在最坏情况下的高效性能。在实际应用中，这种自适应的数据结构尤其适用于频繁访问某些特定元素的场景，因为它能够将这些元素移动到树的根部，从而提高访问速度。通过深入理解和实现这些高级搜索树的特性，我们可以设计出更高效的算法来处理大规模数据集。