《线性代数与解析几何》练习册参考解答（第五章）1

在《线性代数与解析几何》的第五章中，主要讨论了线性方程组的解法，尤其是齐次线性方程组和非齐次线性方程组。齐次线性方程组指的是所有常数项都为零的线性方程组，而非齐次线性方程组则是至少有一个常数项不为零。 在 §5.1 齐次线性方程组的解中，主要涉及了如何找到方程组的基础解系和通解。基础解系是一组线性无关的解向量，它们张成了解空间。对于齐次线性方程组，其通解可以表示为任意实数的线性组合。例如，题目中的第一个例子展示了如何通过高斯消元法将线性方程组化简为阶梯形，进而找到基础解系，并给出通解的形式。第二个例子同样展示了这个过程，但这次基础解系包含两个线性无关的解向量。 在 §5.2 非齐次线性方程组的解部分，讨论了非齐次线性方程组的解结构。非齐次线性方程组的解可以分为两个部分：齐次解（对应齐次线性方程组的解）和特解。齐次解构成了解空间，特解是满足非齐次线性方程组的特定解。非齐次线性方程组的通解是齐次解加上特解。例如，题目中的例子通过同样的消元过程找到同解方程组，然后构造出通解，其中包含了齐次解部分和特解部分。 此外，对于非齐次线性方程组，如果存在两个不相等的解，这意味着方程组有无限多个解，因为可以取这两个解的任意线性组合。另一方面，如果系数矩阵的秩小于变量数，那么齐次线性方程组的基础解系中将包含至少一个线性无关的解向量。 总习题部分进一步巩固了这些概念，填空题和单项选择题考察了基础解系的性质、解的空间维度以及方程组解的存在性和唯一性。计算题则要求实际操作解线性方程组，检验对理论知识的理解和应用。 这部分内容强调了解决线性方程组的方法，包括高斯消元法，理解解空间、基础解系和通解的概念，以及非齐次线性方程组的解的构造。这对于学习线性代数和后续的数学或工程领域应用至关重要。