实验一_单设施选址1

实验一_单设施选址1是关于优化问题的一个经典案例，主要目标是在给定的网络结构中确定一个最优位置建立医院，以确保最远位置到医院的最短距离最小。这个问题通常涉及图论和算法，特别是最短路径算法的运用。 题目描述了一个无向正权图，包含N个节点和M条边。在这里，每条边都有一个非负权重，表示两个节点之间的距离。我们需要找到一个节点来建设医院，使得从这个医院到图中任何位置的最远距离最小。 **算法步骤** 1. **基础解决方案（T1部分）**：我们可以采取一个简单的策略，即枚举每个节点作为医院的位置，然后计算从这个节点出发，到所有其他节点中最远的节点的距离。这可以通过Floyd-Warshall算法实现，该算法可以计算出图中任意两点之间的最短路径。对于每个节点，我们记录下当前节点与其他n-1个节点中的最远距离，称为L。在枚举过程中，如果发现更小的L值，则进行更新。这种方法虽然不完全正确，但对于某些特定测试用例，可以获得部分分数（10分）。 2. **改进解决方案（T2部分）**：进一步思考，最远点可能不在节点上，而是在边的中点。对于每条边(i, j)，从节点K出发，到这条边的最远距离是 (K到i的距离 + K到j的距离 + E(i, j)) / 2。如果没有边连接i和j，则最远距离为K到i或K到j的较大值。通过这种方式，我们可以找到每个节点的最远点，然后比较这些距离以找出最小值。这种策略在T1部分可以获得满分，在T2部分获得40分。 3. **复杂情况处理（T2部分）**：对于T2的复杂情况，最远点可能位于最长路径（或回路）上。最初的直觉可能是找到最长路径并将其长度除以2，但这并不总是正确的。例如，Test2.7展示了这种情况。在Test1中，这种想法被否定，表明存在更复杂的判断机制。考虑到边权为整数，并且在计算最远距离时可能需要进行两次除以2的操作，我们采用一个精度为0.25的枚举方法，将每条边上的每个中间点视为第n+1个虚拟节点，然后再次应用类似第一题的策略。这种方法成功解决了所有T2测试用例，获得了100分。 总结，单设施选址问题的解决涉及到图论中的最短路径计算，包括Floyd-Warshall算法的使用，以及针对不同情况的策略调整。在实际应用中，这类问题可能需要结合动态规划、贪心算法或其他优化技术来求解，以应对更复杂的真实世界场景。