【任务一】主要涉及的是图论中的最短路径问题,具体是寻找图中任意两点间以及任意一点到边上任意点的最短距离。为了解决这个问题,我们可以利用经典的 Dijkstra 算法,这是一种用于解决单源最短路径问题的算法,适用于无向正权图。对于任意两点间最短距离的计算,Dijkstra 算法的复杂度为 O(mn),其中 m 是边的数量,n 是顶点的数量。通过遍历每个点并更新其到起点的最短路径,可以得到所有点到其他点的最短路径。 在求解任意一点到边上某点的最短距离时,问题稍显复杂。假设边 ek=(vi,vj)上的点 P 的位置可以通过分比系数 l 来表示,其中 0 <= l <= 1,边 ek 的长度为 w。点 vi 和 vj 到点 vt 的最短距离分别为 p(it) 和 p(jt)。点 P 到 vt 的最短距离可以表示为 f_kt(l) = min{lw+p(it),(1-l)w+p(jt)}。这个公式是基于点 P 可以通过先到达边的某一端点再转移到目标点来找到最短路径的事实。注意到 |p(it)-p(jt)|<=w,且 f(l) 是一个先增后减的折线,其最大值在 l = lm = (1+(p(jt)-p(it))/w)/2 时取得,这里 0 <= lm <= 1。f_kt 的最大值 f_ktmax = (p(it)+p(jt)+w)/2。因此,我们可以通过这个公式求得任意边到任意点的最短距离,复杂度同样是 O(mn)。 任务一的解决方案是首先用 Dijkstra 算法求得所有点对之间的最短距离,然后计算每条边到所有点的最短距离的最大值,最后取所有点的最大距离的最小值作为答案。算法总复杂度为 O(mn)+O(n^3)。 在实现细节上,可以采用邻接表或邻接矩阵来存储图数据,以便于 Dijkstra 算法的执行。初始时,Dijkstra 算法中节点的无穷距离可以设置为一个足够大的值,例如本例中的 5000001。对于边到点的最短距离,可以额外记录边的信息,或者在邻接矩阵中添加额外的记录,这取决于数据结构的选择和实现的便利性。 【任务二】与任务一类似,只是要求求解一条边上的点到另一条边上任意点的最短距离。通过类似的方法,我们可以推导出点到点的最短距离公式,并找到使得这种距离达到最大值的分比系数。然后,对于每条边 ej,我们需要计算所有可能的医院位置(即ej上的点)对其他所有点的影响,找到使得所有点到医院的最大距离最小的那个位置。这涉及到计算每个点对之间的最短距离,然后对每条边上的点进行分析,找出最佳位置,计算复杂度为 O(m^2)。 最终,我们需要求解每个点的 answer[j],即在 ej 上建立医院时,任意位置到医院的最长时间的最小值。这可以通过遍历所有可能的医院位置(即ej上的点的分比 l2)并找到对应的最大距离来实现。整个过程的复杂度为 O(m^2)。 总结来说,这两个任务都涉及了图论中的最短路径问题,利用了 Dijkstra 算法来计算点对之间的最短距离,并通过数学公式推导来解决更复杂的情况,如点到边上点的最短距离以及边到边的最短距离。算法设计和实现时需考虑到数据结构的选择和复杂度的优化。
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