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2013考研数一真题及解析1

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15页

一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分

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2013

2013 年全国硕士研究生入学统一考试

数学一试题

一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求

的，请将所选项前的字母填在答题纸

．．．

指定位置上.

（1）已知极限

arctan

lim

x x







，其中

,c k

为常数，且

0c 

，则（）

（A）

k c  

（B）

k c 

（C）

k c  

（D）

k c 

（2）曲面

cos( ) 0x xy yz x   

在点

(0,1, 1)

处的切平面方程为（）

（A）

2x y z   

（B）

2x y z  

（C）

2 3x y z   

（D）

0x y z  

（3）设

( )

f x x 

，

2 ( )sin ( 1, 2,...)

b f x n xdx n



 



，令

( ) sin

S x b n x









，则

( )

S  

（）

（A）

（B）

（C）



（D）



（4）设

2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 3 4

: 1, : 2, : 2 2, : 2 2,l x y l x y l x y l x y       

为四条逆时针的平面曲线，记

3 3

( ) (2 ) ( 1, 2,3, 4)

6 3

y x

I y dx x dy i    



，则 = ( )

2013

全国统一服务热线：400—668—2155

（A）

（B）

（C）

（D）

（5）设矩阵 A,B,C 均为 n 阶矩阵，若

, BAB C 则可逆，则

（A）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价

（B）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价

（C）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价

（D）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的列向量组等价

（6）矩阵

1 1

a b a

 

 

 

与

2 0 0

0 b 0

0 0 0

 

 

 

相似的充分必要条件为

（A）

a 0, b 2 

（B）

为任意常数ba ,0

（C）

0,2  ba

（D）

为任意常数ba ,2

（7）设

1 2 3

X X X，，

是随机变量，且

2 2

1 2 3

~N(0,1) ~N( ~ (5,3 )X N，X 0,2 ），X

{ 2 2}( 1, 2,3),

j j

P P X j    

则（）

（A）

1 2 3

P P P 

（B）

2 1 3

P P P 

（C）

3 1 2

P P P 

（D）

1 3 2

P P P 

（8）设随机变量

~ ( ), ~ (1, ),X t n Y F n

给定

(0 0.5),a a 

常数 c 满足

{ }P X c a 

,则

{ }P Y c 

（）

（A）



（B）





（C）



（D）

1 2





2013

二、填空题：9



14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸

．．．

指定位置上.

(9)设函数

( )f x

由方程

(1 )x y

y x e



 

确定，则

lim ( ( ) 1)

n f



 

．

(10)已知

3 2

x x

y e xe 

，

x x

y e xe 

，

y xe 

是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 3 个解，该

方程的通解为

y 

．

(11)设

sin

sin cos

x t

y t t t







 



（

为参数），则

d y





．

(12)

(1 )









．

（ 13 ）设

A (a )

是三阶非零矩阵，

| A |

为 A 的行列式，

为

的代数余子式，若

ij ij

a A 0(i, j 1, 2,3), ____A   则

（14）设随机变量 Y 服从参数为 1 的指数分布,

为常数且大于零，则

{ 1| }P Y a Y a   

________。

三、解答题：15—23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸

．．．

指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或

演算步骤.

（15）（本题满分 10 分）

计算

( )

f x



其中

ln( 1)

( )

f x dt







（16）（本题满分 10 分）

设数列

{ }

满足条件：

0 1 2

3, 1, ( 1) 0( 2),

n n

a a a n n a n



     

( )S x

是幂级数

a x







的和函数，

（I）证明：

( ) ( ) 0S x S x



 

（II）求

( )S x

的表达式.

（17）（本题满分 10 分）

求函数

( , ) ( )

x y

f x y y e



 

的极值.

（18）（本题满分 10 分）

设奇函数

( )f x 在[-1,1]

上具有 2 阶导数，且

(1) 1,f 

证明：

（I）存在

(0,1), '( ) 1f

 

 使得

（II）存在

 

1,1



 

，使得

''( ) '( ) 1f f

 

 

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