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轨迹规划读书笔记1

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介绍了，轨迹会因为给出的边界条件（起，终点，速度，加速度）会影响峰值，中间点加速度等等。并且介绍本书的第一部分会讨论笔记常用的一维轨迹。这些表达式会放在一起进行

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前言：2018.06.13 开始读《轨迹规划》这本书。全书为英文。因为全书翻译

会花费很长时间。所以，建立这个笔记，尽量将看懂的部分以笔记的形式记录下

来，以供将来参考。

写给自己的话：坚持写笔记。尽量言简意赅。为自己的做好积累。

1. 轨迹规划。

1.1 轨迹规划的基本概念。

轨迹规划基本上分几种类型：单一维度，多维度，精准查补和模糊插几种类

型。

基本上轨迹规划就是指一个输入为时间，输出为位置的函数。

1.2 一维轨迹

给出了一个包装机的例子。介绍了，轨迹会因为给出的边界条件（起，终

点，速度，加速度）会影响峰值，中间点加速度等等。并且介绍本书的第一部分

会讨论笔记常用的一维轨迹。这些表达式会放在一起进行比较。

1.3 机械凸轮和电子凸轮

介绍机械凸轮和电子凸轮。

1.4 多维度轨迹

一般来说轨迹指的是在 3 维空间下的曲线，包括方向。

一般在空间中的路径可以表示为 p=p(u)，

而其中 u = u(t) 是运动规则（速度，加速度，力矩等的一些限制）。

得出在操作空间中的轨迹后，利用运动学逆解，得到执行器空间的控制。

1.5 这本书的内容和结构

1.6 一些常用的符号

q(t) 位置曲线

t : 独立变量，或者时间或者是电机角度

：速度曲线

：加速度曲线

：加加速曲线

： snap, jounce ping 曲线

S(t) : 样条函数

qk(t) ：多段轨迹中的第 k 个位置段:

𝑞

(𝑡′)

: q(t)的再参数化（以时间来缩放），

𝑞

(

𝑡

′

)

𝑞(𝑡)

，t =

（

）

。

t0,t1 :初始和最终时间常量，点到点运动中。

T ：在一段点到点轨迹中经历的时间（T = t1 –t0）

q0, q1 : 在点到点运动中，初始点和终点。

h ：总的运动量（h = q1 – q0）

qk : 多点轨迹中的第 k 个中间点。

tk ：多点轨迹中的第 k 个时间常量。

Tk : 在多段轨迹中的第 k 个运动段的持续时间。

v0,v1 : 点到点运动中的初始和最终速度

a0,a1 : 点到点运动中的初始和最终加速度

j0,j1 : 点到点运动中的初始和最终速度

v0,vn : 多点运动中的初始和最终速度

a0,an : 多点运动中的初始和最终加速度

j0,j1n: 多点运动中的初始和最终速度

Vmax ：最大速度值

Amax : 最大加速度值

Jmax : 最大加加速度值

多维度轨迹：

P(u) : 几何路径

Px ,py ,pz : 曲线 p 的 x,y,z 组成部分，

U : 描述一个几何路径函数中的独立变量。

U(t) : 定义运动规则的时间函数。

𝑝

(

)

(𝑢)

: 关于 u 的位置倒数（切向量）

𝑝

(

)

(

𝑢

)

：关于 u 的切向量的倒数（曲率）

𝑝

(

𝑖

)

(𝑢)

：几何路径 p(u)的 i 阶倒数。

𝑝

𝑘

(𝑢)

：多段轨迹的 k 段曲线段。

s(u) : B 样条曲线

n(u) : 非均匀有理样条曲线

b(u) : 贝叶斯曲线

𝑝

（

𝑡

）

: 由几何路径和运动规则组合形成的位置轨迹，

𝑝

（

𝑡

）

𝑝

(

𝑢

)

𝑜 𝑢(𝑡)

𝑝

𝑥

𝑝

𝑦

𝑝

𝑧

, : 以 t 为参数的函数，轨迹 p 的组成部分。

𝑝

（

𝑖

）

（

𝑡

）

：轨迹的 i 阶倒数(i=1 ，为速度， i= 2，为加速度)。

：

𝑝

（

𝑖

）

的，x,y,z 向的组成部分。

𝑝

（

𝑢

）

：函数的 p(u)的再次参数化，

𝑝

（

𝑢

）

𝑝

(

𝑢

)

𝑜 𝑢

（

𝑢

）

。

qk : 多点轨迹中的第 k 个经过点。

Rk ：定义在第 k 经过点上的方向的旋转矩阵。

tk ：在任意第 k 经过点上的切向量。

𝑢

𝑘

: 多点轨迹中的第 k 个“时间常量”（k =0,…，n）

𝑛

：多点运动的启点和终点切向量。

𝑛

：多点运动的启点和终点切向量的曲率向量。

𝐺

ℎ

：根据 h 的顺序的几何连续性函数类

轨迹规划：

：自然数集合

：实数集合

：复数集合

m : 标量数

|m|

：

绝对值

：向量

：向量模数

：向量转置

：矩阵

：矩阵行列式

：矩阵的范数

：矩阵的迹

：对角线矩阵

：角速度

：采样时间

：取决于 h 阶倒数的连续函数类

：整数部分函数

：符号部分函数

：饱和函数

：阶乘操作

2. 基本运动曲线

基本运动曲线的解析式

2.1 多项式轨迹

最简单的一种情况就是，有一个起始点，终点，在位置，速度和加速度上有

一些限制。那么从数学的角度上看，这个问题就简化成了，需要找到这么一个函

数

为了能让上面的条件都满足，那么这个问题可以轻松的通过设计一个多项式

函数来解决。

这里面的 n+1 个参数,ai，会根据初始位置和终点位置来确定。多项式的维度 n 可

以根据需要的“顺滑程度”来确定。

通常边界条件的数量都是偶数，而多项式的 n 都是奇数。

一般来说，除了起点，终点条件以外，其他条件可以通过判断轨迹的多阶倒

数来实现（速度，加速度，加加速等，）。换句话说，就是可以通过让 n 阶倒数的

值

𝑝

（

𝑘

）

（

𝑡

𝑗

）

等于一个常量值

𝑡

𝑗

。数学上，这些条件可以描述为：

或者是以矩阵的形式，

其中 M 是一个已知的 n+1 x n+1 的矩阵，b 是需要满足的 n+1 个条件，a 是

需要计算的未知参数向量。

原则上，这个等式可以通过

来解出来。

但是，对于 n 比较大的时候，这个过程会导致很多问题，这些会在第 4 章进

行详细的分析。

2.2 三角函数轨迹

这一节，将会描述以三角函数为基础的轨迹解析表达式。这些轨迹变现出来

的特点是，在任意阶的倒数上都连续，但是在开始位置和结束位置有可能是不连

续的。

2.2.1 谐波曲线

谐波运动的特点是加速度曲线和位置曲线成比例，符号相反。

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