《概率论与数理统计》练习十五_随机样本和统计量1

在概率论与数理统计的学习中，随机样本和统计量是两个重要的概念。随机样本是从一个总体中抽取的观测值集合，而统计量是基于这些观测值计算得出的量，通常用于描述或估计总体的特性。 1. **随机样本与经验分布函数** 在题目描述的第一个问题中，给出了一个随机样本`20.5, 18.8, 19.8, 20.9, 21.5, 19.5, 21.0, 21.2`，这是一组来自某个总体的观察值。经验分布函数（Empirical Distribution Function, EDF）是实际数据的一种非参数表示，它通过计算每个观测值以下数据点的比例来近似总体的累积分布函数（CDF）。对于给定的数据，经验分布函数在每个观测值处的值为该值以下观测值的数量除以样本大小。因此，要计算经验分布函数，我们需要找出每个观测值出现的频率并累加，但题目没有提供具体的数据处理步骤，所以无法直接给出答案。 2. **样本均值与样本方差** 第二个问题涉及样本均值和样本方差的计算。样本均值是所有观测值的平均值，计算公式为所有观测值之和除以样本大小。样本方差则衡量数据点相对于样本均值的离散程度，其计算通常包括以下几个步骤：(1) 计算每个观测值与样本均值的差的平方；(2) 将这些平方差相加；(3) 将这个和除以样本大小减一（如果是样本方差，如果是总体方差则除以样本大小）。由于具体数据未给出，我们无法直接计算这两个统计量。 3. **泊松分布的统计量** 泊松分布是一种常见的离散概率分布，常用来描述在一定时间或空间区域内发生事件的次数。第三个问题中，总体服从参数为λ的泊松分布，且λ是未知的。统计量是不依赖于未知参数的量，而样本函数`X1+X2, X1-X2, X1X2`中的`X1X2`不是统计量，因为它包含了未知参数λ的乘积，因为泊松分布的期望值和方差都等于λ。 4. **泊松分布的联合分布律与经验分布函数** 对于第二部分，如果总体服从泊松分布，我们可以计算样本的联合分布律，这需要利用泊松分布的概率质量函数。当给定一组样本观察值时，可以构建经验分布函数，它将每个观察值视为一个特定的事件，并计算小于或等于该事件的观测值的频率。 5. **总体均值与方差的已知情况下的统计推断** 在第三部分，我们知道总体的均值μ和方差σ²，同时有样本均值`X̄`和样本方差`s²`。通常情况下，我们可以用样本均值去估计总体均值，用样本方差去估计总体方差。但是，题目没有明确指出我们要解决的具体问题，比如是否要计算置信区间或者进行假设检验，所以无法提供详细的计算过程。 总结来说，随机样本和统计量在统计分析中起着核心作用，它们帮助我们理解和推断总体的性质。上述题目涵盖了经验分布函数、样本均值与样本方差的计算、泊松分布的统计特性和利用样本信息对总体参数的估计等基本概念。通过解决这些问题，学生可以加深对概率论与数理统计原理的理解。