1. 高斯消元法
1.1 将矩阵化成单位上三角矩阵
假设输入矩阵为
构造一个单位矩阵
,对输入矩阵做的任何变换,都同时作用在矩
阵 O 上。化成上三角矩阵的步骤如下:
(1) 当前为第(i+1)次迭代(i=0,1,…,n-1)寻找第 i 列的绝对值最大的元素,若都为 0 并且
迭代还未结束说明矩阵奇异,否则交换该行和第 i 行。将第 i 行对角线元素化为 1。
(2) 对 k=i+1,i+2,…,n-1 行的第 i 列元素消去。
(3) 最后将
化为 1。
1.2 将矩阵化为单位矩阵
步骤如下:
(1) 当前为第(n-i)次迭代(i=n-1,n-2,…,1),直接消去第 i 列对角线以上的元素
(2) 迭代结束输出的
即为矩阵
的逆矩阵。
2. 正定矩阵的 Cholesky 分解
2.1 LLT 分解
11 11 11 1 1
1 1
1 1
i n
i ii i ii ii ni
n ni nn n ni nn nn
a l l l l
a a l l l l
a a a l l l l
é ù é ùé ù
ê ú ê úê ú
ê ú ê úê ú
ê ú ê úê ú
=
ê ú ê úê ú
ê ú ê úê ú
ê ú ê úê ú
ë û ë ûë û
L L
M O M O O M M
L L
M M O M M O O M
L L L L L
当
时,有
1
1 1
j j
ij ik jk ik jk ij jj
k k
a l l l l l l
-
= =
= = +
å å
即