第七章 矩阵特征值计算1
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2022-08-03
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第七章 矩阵特征值计算
物理、力学和工程技术中的许多问题在数学上都归结为求矩
阵的特征值和特征向量问题。
计算方阵
A
的特征值，即求特征多项式方程：
0)det()( IAp
A
或
0
1
1
1
nn
nn
ppp
的根。求出特征值
后，再求相应的齐次线性方程组：
0)( xIA
的非零解，即是对应于
的特征向量。
对于阶数较小的矩阵是可以的，但对于阶数较大的矩阵来说，
求解是十分困难，所以用这种方法求矩阵的特征值是不切实际的。
如果矩阵
A
与
B
相似，则
A
与
B
有相同的特征值。
因此希望在相似变换下，把
A
化为最简单的形式。一般矩阵
的最简单的形式是约当（Jordan）标准形。由于在一般情况下，
用相似变换把矩阵
A
化为约当标准形是很困难的，所以设法对矩
阵
A
依次进行相似变换，使其逐步趋向于一个约当标准形，从而
求出
A
的特征值。
下面主要介绍求绝对值最大、最小特征值和特征向量的幂
法、反幂法，求实对称矩阵全部特征值和特征向量的雅可比
（Jacobi)方法。
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