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第十二题报告1
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2022-08-03
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摘要这是计算物理第 12 次作业,作业题目是推导三角格子点阵上座逾渗的重整化群变换表达式 p′ =R(p),其中端-端连接的条件是 3 个格点中的 2 个是占据
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计算物理 homework12
李明达 PB18020616
1
*
摘要
这是计算物理第 12 次作业,作业题目是推导三角格子点阵上座逾渗的重整化群变换表达式 p
′
=
R(p),其中端-端连接的条件是 3 个格点中的 2 个是占据态,求临界点 p
c
与临界指数 v,与正确值(表
1.6.1.3-1)相比较。
关键词
座逾渗、重整化群
1
中国科学技术大学物理学院 * 作者: dslmd@mail.ustc.edu.cn
图 1. 对座逾渗点阵重整化(用 Notability 软件手画)
图 2. 四种构型(用 Notability 软件手画)
1. 理论推导
将三个点缩并为一个点,缩放尺度 b =
√
3,如
图1所示
假设占据单个点的概率为 p,三个格点中占据
两个及以上的概率可以通过图2所示。
可以得出:
R(p) = p
3
+ 3p
2
(1 − p) = 3p
2
− 2p
3
临界点满足以下方程
R(p) = p = p
c
可得
p
c
= 0.5
为了计算临界指数,我们考虑到,重整化的格子
点阵中所有的长度量应比原来格子点阵中的长度量
缩小 b 倍,这样才能保持系统在标度变换下是不变
的,即关联长度的变换是 ξ
′
= ξ/b,由于在 p
′
∼ p
c
处,ξ(p) ∝ |p − p
c
|
−ν
,所以有
|p
′
− p
c
|
−ν
= b
−1
|p − p
c
|
−ν
而在 p
c
附近做泰勒展开可得
p
′
− p
c
= R(p) − R(p
c
) = λ(p − p
c
), λ =
dR(p
c
)
dp
对比两个式子可以得到
ν =
lnb
lnλ
在此题中
λ = 6p(1 − p) =
3
2
ν =
ln
√
3
ln(
3
2
)
= 1.355
2. 结果对比
与正确值(图3)对比一下,有 p
c,theo
= 0.5 相
符,非常精确。而临界指数的值为 ν
theo
=
4
3
< ν =
1.355,略有不同,但是比较不错的近似。
不过,这种方法总体上当 b 很小时说还是比较
不严谨,b 趋于正无穷时才能得到严格解,仍需要考
虑的元胞边界效应不可忽略,取相对较大的 b 计算
可能才能得到更加精确的值。
3. 总结
在完成本次作业时,我通过简单的实空间重整
化的推导,得出了三角形块的精确座逾渗阈值概率,
也得到了临界指数的估计值,都与准确结果十分接
近,几乎相等。本次实验圆满完成,也说明了重整化
群方法的方便和准确。
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张博士-体态康复
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