10 EM算法1

EM算法，全称为期望最大化（Expectation-Maximization）算法，是一种在统计学和机器学习领域广泛应用的迭代方法，主要用于处理含有隐藏变量的概率模型的参数估计问题。在模型中，我们通常可以观察到一部分数据（观测数据），但还有一部分数据是隐藏的或者不可见的（潜在数据）。EM算法通过迭代的方式，交替进行期望（E-step）和最大化（M-step）两个步骤，以优化模型的参数。 E-step（期望步）：在这个步骤中，给定当前的参数估计值，算法计算每个观测数据点对应隐藏变量的期望值，也就是后验概率。具体来说，计算的是条件期望E[log p(x, z|θ)]，其中x是观测数据，z是隐藏变量，θ是模型参数。这个期望值被用来作为下一次迭代的辅助函数。 M-step（最大化步）：在E-step得到的期望值基础上，通过最大化这个辅助函数来更新模型参数。这一步骤的目标是找到使辅助函数Q达到最大的参数值。对于Gaussian Mixture Model（高斯混合模型）或 Hidden Markov Model（隐马尔科夫模型）等概率模型，这通常涉及到求解使得Q函数最大的θ的值。 EM算法的优化过程可以视为在每次迭代中寻找一个新的参数估计，使得观测数据的对数似然函数或者其下界ELBO（Evidence Lower Bound）增加。Jensen不等式在这里起着关键作用，它保证了在E-step和M-step之间进行的这种交替优化过程中，对数似然函数的值不会减少。 在EM算法的应用中，GMM（高斯混合模型）是一个常见的例子。GMM假设数据是由多个高斯分布混合生成的，而每个数据点属于哪个高斯分布是未知的，即隐藏变量。通过EM算法，我们可以有效地估计出每个高斯分量的均值、方差和权重。 在实际应用中，EM算法可能遇到局部最优的问题，即算法可能会收敛到一个非全局最优的解。为了解决这个问题，可以通过多次运行EM算法，每次都从不同的随机初始参数开始，然后选择导致最大似然估计的解。 EM算法是一种强大的工具，用于解决含有隐藏变量的概率模型的参数估计问题。它通过迭代的方式逐步改进参数估计，使得模型能够更好地解释观测数据。虽然存在局部最优的风险，但在许多实际场景下，EM算法仍然表现出色，并被广泛应用于各种领域，如图像识别、自然语言处理、生物信息学等。