基于广义傅里叶变换的线性卷积算法_英文_戴银云1

《基于广义傅里叶变换的线性卷积算法》是由戴银云、易华和余涛合作的一篇工程数学期刊文章，发表于2019年2月的《中国工程数学》上。该研究主要探讨了一种利用广义离散傅里叶变换（GDFT）实现线性卷积的新方法。 线性卷积在科学计算中具有基础性的作用，如连续小波变换、大整数乘法以及长多项式的乘法等。通常，线性卷积可以通过直接定义或使用快速傅里叶变换（FFT）为基础的算法来实现。对于基于FFT的传统快速算法，需要将信号和滤波器通过填充零使得它们的长度满足线性卷积的等效条件。 文章首先深入分析了线性卷积与循环卷积之间的关系。循环卷积是线性卷积的一种特例，当两个序列的长度相加时，它们的线性卷积可以转换为循环卷积。这种转换允许使用具有卷积性质的快速变换来简化计算过程，而FFT正是这样的快速变换。 接下来，作者提出将线性卷积的计算转化为特殊 Toeplitz 矩阵与信号的乘法问题。Toeplitz矩阵是由对角线上的元素按顺序向下和向右平移得到的矩阵，具有一定的结构特性，这为计算提供了一种新的视角。然后，通过GDFT的逆变换来完成这个乘法操作，即先分别对信号和滤波器进行GDFT，再取它们的乘积，最后应用逆GDFT。 此外，文章还创新性地利用参数为-1的GDFT来处理复数线性卷积的计算。这一方法在先前的文献中并未被考虑，拓宽了GDFT在计算线性卷积中的应用范围。 关键词：广义离散傅里叶变换；线性卷积；循环卷积；快速傅里叶变换 按照2010年美国数学学会的分类标准，这篇文章属于42C15和42C40类别，按照中国图书馆分类法属于O17类。文献代码为A1，表明这是一篇原创性研究论文。 总结来说，该研究提供了一种新的线性卷积计算方法，通过广义离散傅里叶变换，不仅优化了计算过程，还扩展到复数线性卷积的处理，对于提高科学计算效率具有重要意义。