实验报告“1183710113-许健-Lab3-Report1”主要探讨了两个关键的机器学习算法：K-means聚类和混合高斯模型（GMM），并使用 Expectation-Maximization (EM) 算法进行参数估计。以下是这两个算法的详细解释：
K-means算法是一种无监督学习方法，用于将数据集划分为k个不同的类别。其主要目标是最小化簇内的平方误差和，从而最大化簇间的差异。算法流程包括以下步骤：
1. 初始化：根据输入的超参数k，随机选择k个样本作为初始的簇中心。
2. 分配样本：计算每个样本与所有簇中心之间的欧氏距离，将样本分配给最近的簇。
3. 更新中心：根据新的簇划分，重新计算每个簇的均值，成为新的簇中心。
4. 判断收敛：如果新的簇中心与旧的簇中心之间的差小于预设的阈值ε（例如1e-5），则算法收敛，否则返回步骤2。
在Python中，K-means算法可以通过以下方式实现：
```python
def kmeans(X, k, epsilon=1e-5):
center = np.zeros((k, X.shape[1]-1))
for i in range(k):
center[i,:] = X[np.random.randint(0, high=X.shape[0]),:-1]
while True:
distance = np.zeros(k)
for i in range(X.shape[0]):
for j in range(k):
distance[j] = np.linalg.norm(X[i,:-1] - center[j, :])
X[i, -1] = np.argmin(distance)
new_center = np.zeros((k, X.shape[1]-1))
count = np.zeros(k)
for i in range(X.shape[0]):
new_center[int(X[i, -1]), :] += X[i, :-1]
count[int(X[i, -1])] += 1
for i in range(k):
if count[i] > 0:
new_center[i, :] /= count[i]
if np.linalg.norm(center - new_center) < epsilon:
break
center = new_center
return center, X
```
接下来，混合高斯模型（GMM）是概率模型，假设数据是由多个高斯分布的线性组合生成的。每个样本x可以表示为k个高斯分布中某一个的生成结果，对应的概率为权重π_i。GMM的联合概率密度函数可以表示为：
$$P(x|\theta) = \sum_{i=1}^{k} \pi_i \mathcal{N}(x|\mu_i, \Sigma_i)$$
其中，θ是模型参数，包含每个高斯分布的均值μ_i、协方差矩阵Σ_i和混合系数π_i，这些参数通过EM算法进行估计。
在EM算法中，E步骤（Expectation）计算每个样本属于每个高斯分布的概率（后验概率），M步骤（Maximization）则根据这些概率来更新模型参数。这个过程反复进行，直至参数收敛，即似然函数达到最大或变化非常小。
实验中，学生许健被要求用高斯分布生成的数据测试K-means的效果，然后使用自实现的EM算法估计GMM的参数，并比较迭代过程中的似然值变化，以验证算法的正确性。此外，还要求在UCI数据集上应用GMM进行聚类，以此评估算法在实际问题上的表现。
该实验旨在加深对K-means聚类和GMM的理解，以及掌握EM算法在参数估计中的应用，通过实践提高学生的理论知识和编程技能。
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