【免费】2018-2019高等数学B2期末试题A参考解答1资源-CSDN文库

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武汉大学 2018-2019 第二学期高等数学 B2 期末试题 A 参考解答

1. (10 分)求曲面

2 22

30xyz x++−=

在点

(1,1,1)M

处的切平面方程，并求该曲面与平面

2 3 5 40

xyz− + −=

的交线在点

(1,1,1)

M

的切线方程.

解：记

2 22

(,,) 3Fxyz x y z x

=++−

，则

(1,1,1) 1, (1,1,1) 2, (1,1,1) 2

x yz

F FF=−= =

5 分

得切平面方程：

( 1) 2( 1) 2( 1) 0xyz−−+ −+ −=

，即

223xyz

−+ + =

8 分

交线的切线方程：

2 3 5 40

2 2 30

xyz

xyz

− + −=





−+ + −=



10 分

2. (8 分)设函数

(,)z f uv=

具有二阶连续偏导数，

, sinu x yv x y=+=

，计算

2

,

zz

x yx

∂∂

∂ ∂∂

.

解：

12

sin

z fu fv

ff y

x ux vx

∂ ∂∂ ∂∂

′′

=+=+

∂ ∂∂ ∂∂

5 分

22

12

11

22

2

11 12 21 22 2

11 12 22 2

( sin )

sin cos

cos ( cos )sin cos

( cos sin ) cos sin cos

zz

ff y

yx xy y

ff

uv

ff

uv

yf y

uy vy

uy vy

f fxyf fxy yf y

f fxy yfxyyf y

∂∂∂

′′

= = +

∂∂ ∂∂ ∂

′′



′′

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

′

=++ +



+



∂∂ ∂∂

∂∂ ∂∂



′′ ′′ ′′ ′′ ′

=+ ++ +

′′ ′′ ′′ ′

=+ ++ +

8 分

3. (9 分)设函数

22

(,) 2 6 5 2 2 3f x y x xy y x y

= − + −++

，

1）求函数

(,)f xy

的极值；

2）写出

(,)f xy

在条件

22

1xy+=

下的极值问题的拉格朗日函数（无需求出条件极值）.

解：1)

4 6 20

x

f xy= − −=

，

10 6 2 0

y

f yx= − +=

，解得唯一驻点

(2,1)

； 5 分

此外，

4, 6, 10

xx xy yy

ff f= =−=

，可知

22

4 0, 0

xx yy xy xx

AC B f f f f−= −=> >

，因此

(,)f xy

在点

(2,1)

处取得极小值

(2,1) 2f =

; 7 分

2)

22

(,, ) (, ) ( 1)Fxy f xy x y

λλ

= + +−

2 2 22

2 6 5 2 2 3 ( 1)x xy y x y x y

λ

= − + − + ++ + −

9 分

4. (9 分)计算二重积分

22

(e sin )d d

y

D

I x x y xy= ++

∫∫

，其中

22

{( , ) |1 4}D xy x y= ≤+≤

.

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