2.3.1 第一章题解1
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2022-08-03
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第一章题解
1.7.1 本章要求掌握的概念和计算
(1) 二阶和三阶方程在笛卡尔坐标中的图形？三类联立方程组解的几何意义。
(2) 高阶线性方程组经过怎样的消元过程后变为上三角型？
(3) 消元法如何使主元 A(i,i)下方的各元素 A(j,i)(j>i)等于零？
(4)消元过程为何主元不得为零？如果出现零，而它的下方有一个非零元素，如何进行修正？
(5) 如果无法修正，则此系统的独立方程(秩)将减少，属欠定方程，无解或有无数解。
(6) 上三角系统如何用回代法变成对角系统？对角线主元都不为零是方程组解存在的充要条件。
(7) 秩表明独立方程的个数。系数矩阵与增广矩阵的秩相等是方程解存在的必要条件。
(8) MATLAB 实践：掌握各类随机阵的生成，矩阵及其分块的提取，行消元运算
，适定、欠定方程组
的求解。
(9) MATLAB 函数：randintr、rref、rrefdemo、rrefdemo1、ref1、ref2、ones、zeros。
1.7.2 计算题
1.1 本书提供了一个生成随机整数矩阵的程序 A=randintr(m,n,k,r),输入变元 m 为行数，n 为列数(缺省
值为 m)，k 为元素最大绝对值(缺省值为 9)，r 为矩阵的秩(缺省值为 m)。请利用这个程序自行生成各种所
需的矩阵。
(a) 生成一个 4 × 5 的一位整数的随机增广矩阵，用 ref1 及 rref 函数求出它的行阶梯形及最简行阶梯形
矩阵，并求其解；
解：设方程组为：AX=b，即增广矩阵为 C=[A,b]，输入程序：
C=randintr(4,5), U=ref1(C),U2=ref2(C), U0=rref(C)，其一组随机解为：
6 3 9 9 -1
8 -8 9 0 8
,
-7 -4 -7 6 6
8 1 9 -7 9
8.0000 -8.0000 9.0000 0 8.0000
0 -11.0000 0.8750
=
=
C
U1
8.0000 0 0 0 -97.7778
6.0000 13.0000 0 -11.0000
,
0 0 2.9659 13.9091 3.6364
0 0 0 -5.4483 10.7586
=
U2
0 0 15.6724
0 0 2.9659 0 31.1026
0 0 0 -5.4483 10.7586
1.0000 0 0 0 -12.2222
0 1.0000
=U0
1
2
3
4
-12.2222
0 0 -1.4248 -1.4248
,
0 0 1.0000 0 10.4866 10.4866
0 0 0 1.0000 -1.9747 -1.9747
x
x
x
x
⇒=
⇒
X = U0(: ,5)
检验方法为求 E=C(:,[1:4])*U0(:,5)-C(:,5)，它应该等于全零列向量。
(b) 生成一个元素绝对值最大为 20 的 5 × 6 的随机矩阵，并以它为增广矩阵求解方程组。
1.2 用 MATLAB 语句列出下列方程组的增广矩阵，保留其中第一个方程，用初等行变换将后面方程的
变量 x
1
消元，并列出每一步所用的 MATLAB 消元语句。
(a)
12
12
1
43 3
xx
xx
+=−
−=
解：程序为：C=[1,1,-1;4,-3,3], C1=C, C1(2,:)=C(2,:)-C(2,1)/C(1,1)*C(1,:),
得到:
1 1 -1 1 1 -1
,1
4 -3 3 0 -7 7
CC
= =
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