第 3 课 乘法和逆矩阵
第 3 课的主要内容是矩阵乘法和逆矩阵。矩阵乘法主要介绍了矩阵乘法的多种求解方法、乘法的
结合律以及能够相乘的条件。逆矩阵主要介绍了如何判断一个矩阵是逆矩阵,最后顺带提及了求
解一个好矩阵(非奇异矩阵)的逆矩阵的方法。
矩阵乘法 的 种求解方法:
从元素的角度( 的行乘以 的列)
从列的角度(列的线性组合): 的各列是 中各列的一个线性组合,组合方式由 决
定。比如 的第一列是 中各列相对于 的第一列的一个线性组合。
从行的角度(行的线性组合): 的各行是 中各行的一个线性组合,组合方式由 决
定。比如 的第一行是 中各行相对于 的第一行的一个线性组合。
从矩阵的角度( 的列乘以 的行)
从分块的角度:其中
行空间:也即行的所有可能的线性组合对应的向量空间
列空间:也即列的所有可能的线性组合对应的向量空间
逆矩阵分为左逆和右逆,对于方阵来说,左逆是等于右逆的,但对于非方阵来说,左逆不等于右
逆。需要明确声明的是,这句话中的逆矩阵指的是广义逆矩阵。在线性代数范围的定义下,可逆矩
阵一定是方阵。
一个重要的问题:如何判断一个矩阵是否有逆?
从行列式的角度:行列式等于零,矩阵不可逆
从列图像的角度:若矩阵 存在,那么有 ,也即 的各列是 中各列的线性
组合,如果 中的各列无法线性组合成 中的任何一列,那么矩阵不可逆
能否找到非零向量 使得 。假设 且 存在,那么有
, 于是有 ,这也即逆矩阵存在则 必为零向
量,若能找到非零向量 使得 ,则该矩阵必然不可逆。
如何求解逆矩阵——使用高斯-若尔当思想,同时处理多个方程组
将 和 矩阵放到一起形成一个增广矩阵, 矩阵也即总的消元矩阵,其能够将 行变换为 ,
也即 。
由 此可知 是 的逆矩阵 ( ),又因为 ,所以变换后的增广矩阵右侧
自然就得到了逆矩阵。
同时,高斯-若尔当思想也告诉我们,如果矩阵 可以行变换化简成 ,那么显然 是一个可逆矩
阵。
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