线性代数A答案1
一、填空题
* 1.89：矩阵的秩等于行秩和列秩的最小值。因此，秩为3的矩阵可以被分解为秩为2的矩阵和秩为1的矩阵的乘积。
* 2.0：矩阵的逆矩阵不存在，因为矩阵的秩小于矩阵的阶数。
* 3.1或2：矩阵的秩等于行秩和列秩的最小值。因此，秩为2的矩阵可以被分解为秩为1的矩阵和秩为1的矩阵的乘积。
* 4.3-：矩阵的秩等于行秩和列秩的最小值。因此，秩为3的矩阵可以被分解为秩为2的矩阵和秩为1的矩阵的乘积。
* 5.11203142xæ ö æöç ÷ ç÷ç ÷ ç÷=+ç ÷ ç÷-ç ÷ ç÷-è ø èø：这是一个关于矩阵的秩和特征值的计算问题。
二、选择题
* DDABCC：这是一道关于矩阵秩和特征值的选择题。
三、计算题
* 1.11220000000001 111 1nnaaaaaa---LLMMM MM OLL=122000000000011111nnaaaaan--+LLMMM OMMLL：这是一个关于矩阵乘法和秩的计算问题。
* 2.解：1111114111A-= -,根据 *12A XAX-=+;两边左乘 A，得 *12AA XAAAX-=+; 2A XIAX=+; (42 )IA XI-=; 1(42 )XIA -=-：这是一个关于矩阵乘法和秩的计算问题。
* 3. 解 (i) 设 123123(,,)(,,)Ab b ba a a=.把两组基向量代入上式，得101100012110110111Aæö æöç÷ç÷=ç÷ç÷ç÷ç÷-èø èø;过度矩阵1100101100101101110012110012111111110011110122A-æö æö æöæö æöç÷ ç÷ç÷ç÷ç÷== -= -ç÷ ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ ç÷ç÷ç÷ç÷-----èø èø èøèø èø：这是一个关于矩阵乘法和秩的计算问题。
* 4. 解：()1234512434124340111101111,,,,13103055310773107731a a a a aæöæöç÷ç÷ç÷ç÷=®ç÷ç÷------ç÷ç÷--èøèø...：这是一个关于矩阵乘法和秩的计算问题。
四．证：
* (1) 设 A 的特征值为l ，根据 24AIO-=得 2410l - =，从而有 ()(21) 210ll+-= 所以 12l = -或12l =.：这是一个关于矩阵特征值的计算问题。
* (2) 根据24AIO-=，得 (2)(2)AIAIO+-=, 从而有 (2 )[2(2)](2)(2)nrIrAIAIrAIrAIn==+--£++-£：这是一个关于矩阵特征值的计算问题。
五．解：
* 1110111( , )111311131111110A bllllllll++æöæöç÷ç÷=+®+ç÷ç÷ç÷ç÷++èøèø：这是一个关于矩阵乘法和秩的计算问题。
* 2111111030302(1)00(3)(3)(1)llllllllllllll ll lll++æöæöç÷ç÷®--®--ç÷ç÷ç÷ç÷----+++-èøèø：这是一个关于矩阵乘法和秩的计算问题。
* 1)0l ¹且3l ¹ - 时有唯一解；2)0l =时无解；3)3l = - 时有无穷解。当3l = - 时，11231011( , )0336011200000000A b----æöæöç÷ç÷®-®--ç÷ç÷ç÷ç÷èøèø：这是一个关于矩阵特征值的计算问题。
六．解：
* 二次型矩阵51215222Acæöç÷=-ç÷ç÷-èø, 因为 ( )2r A =,所以0A =, 得2c =.由2512152(6)0222IAllllll----=--=-=--得16l =(二重根)， 20l =(单根)：这是一个关于矩阵特征值的计算问题。
* 解齐次线性方程组(6)0IA x-=,得基础解系12(1,1,0) ,(2,0,1)TTxx==,施密特正交化得 1211(1,1,0) ,(1, 1,1)23TThh==- -.：这是一个关于矩阵特征值和齐次线性方程组的计算问题。
* 解齐次线性方程组(0)0IA x-=得基础解系31 1(,,1)2 2Tx = -, 单位化得31 ( 1,1,2)6Th =-,取正交矩阵123111236111(,,)23612036Qh h hæö-ç÷ç÷ç÷==-ç÷ç÷ç÷ç÷èø, 令 xQy=，得标准型：2212312(,,)66f y ：这是一个关于矩阵特征值和齐次线性方程组的计算问题。
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