《数值分析-实验二1》主要探讨了矩阵特征值算法的实现，包括幂法、反幂法、雅可比算法和QR算法。这些方法在数值计算与分析领域中是求解线性代数问题的关键技术。
一、幂法与反幂法
1. 幂法：基于教材P247的定理8，幂法主要用于寻找矩阵的最大或最小特征值。在程序中，设置了最大迭代次数为1000，误差阈值为1e-4。每次迭代后，通过计算矩阵与特征向量之差的范数平方来评估误差。在某些情况下，如矩阵A，可能会遇到迭代次数超限的问题；矩阵B和C则可能出现迭代速度过快导致结果不准确的情况。
2. 反幂法：基于教材P251的定理10，反幂法也需要求解矩阵的逆，但由于计算逆矩阵耗时较长，所以采用了线性方程组的直接三角分解法（基于教材P152）来替代。同样，反幂法也有类似的问题，如矩阵B和C的情况。
二、雅可比算法
1. 雅可比算法：根据讲义和网络资料实现，用于求解矩阵的特征值。算法展示了总迭代次数和运行时间。此方法在处理特定类型的矩阵时可能更有效，但并非适用于所有情况。
三、QR算法
1. 单步QR算法：基于豪斯霍尔德变换（教材P255定理14）和正交相似变换（教材P261），单步QR算法首先将矩阵转换为上海森伯格矩阵，然后利用教材P270的算法1求解特征值。然而，单步QR算法在处理包含复数特征值的矩阵时效果不佳。
2. 双步QR算法：为了解决单步QR算法的局限性，实验中采用了双步QR算法（教材P273）。这种方法可以求解矩阵的所有特征值，包括复数部分，并且能够处理多项式方程的求解。通过将多项式方程转化为矩阵形式，可以找到所有根。
四、实验结果
实验结果显示，所有结果和运行时间都保留了四位小数，误差保留六位小数。对于幂法和反幂法，部分矩阵的特征值计算中遇到了迭代次数超限或者速度过快的问题，这表明在实际应用中需要根据矩阵的具体特性调整算法参数。特征向量虽然不在表格中直接展示，但它们对于理解和验证特征值至关重要。
实验二1深入研究了数值计算中几种重要的矩阵特征值求解方法，通过编程实践加深了对理论知识的理解。每个方法都有其适用范围和局限性，实际应用时需要结合具体情况灵活选择。同时，实验也强调了误差控制和迭代次数的管理，这些都是数值计算中必须关注的重要因素。
