第四章习题参考答案1

【知识点详解】 1. 交换群的定义与证明： 交换群是群论中的一个重要概念，一个群G称为交换群，如果对于群中的任意元素a和b，都有ab=ba。在给定的描述中，提供了两种证明方法。第一种是通过222()aba b=，利用群的消去律得到baab=，从而证明G是交换群。第二种方法是通过2ae=对所有a成立，同样利用消去律得到baab=，证明G为交换群。 2. 矩阵乘法下的特殊群： 第三题指出，( )nGL P 中全体行列式为1的矩阵构成一个群，因为它们的乘积行列式仍为1，满足封闭性；存在单位矩阵作为单位元，其行列式为1；并且这些行列式为1的矩阵都是可逆的，其逆矩阵的行列式也是1，满足群的逆元条件。 3. 群的构造与证明： 第四题中，定义了一个乘法ab满足特定条件，通过验证群的三个基本性质：封闭性、结合律和存在单位元，证明了G在这个乘法下成群。 4. 正整数幂的性质： 第五题表明，如果在群G中，有1ra bab−=，其中r为正整数，可以推出iiira bab−=。这体现了群中元素的幂运算性质。 5. 子群的同构性： 第六题证明了整数加法群的子群n与n同构，通过定义一个同构映射fn→为( )f ana=，验证其满足同构映射的条件。 6. 正规子群的判定： 第七题指出，在一阶为2n的群中，若有n阶子群H，根据拉格朗日定理，H的陪集只有两个，且H的左右陪集相等，证明H是正规子群。 7. 交换群的另一种判别方式： 第八题中，通过一组关系式(),,1,2kkkaba b ki ii==++，可以推导出G中的任意元素满足交换律，从而证明G为交换群。 8. 子群的乘积： 第九题表明，子群H和K的乘积HK是子群当且仅当HK=KH。证明过程中，通过分析HK和KH中的元素及其逆元，展示它们的乘积保持子群的性质。 9. 子群乘积的性质： 第十题证明了有限群G的子群H和K的乘积HK的阶等于H和K的阶的乘积，即|| || ||HKHKHK=。这是通过分析H关于子群HK的左陪集分解实现的。 10. 正规子群的性质： 第十一题中，证明了两个正规子群M和N的乘积MNNM=，并指出MN是G的正规子群。若{ }MNe=，则/MN N与M同构。这是基于正规子群的性质，如乘积的封闭性和逆元的性质。 以上就是从题目中提炼出的群论相关知识点，包括交换群的定义和证明、矩阵群、群的构造、幂运算的性质、子群的同构性、正规子群的判定以及子群乘积的性质。这些内容涵盖了群论的基础理论和一些核心概念。