第3章 随机信号的频域分析1

在信号处理领域，傅里叶变换是分析信号在时域和频域特性的重要工具。它通过将时域信号转换到频域，使我们能够理解信号的频率成分和功率分布。然而，对于随机过程，情况有所不同。随机过程的样本函数由于其无限持续时间和无限总能量，不满足傅里叶变换的标准条件，因此无法直接应用傅里叶变换得到传统意义上的频谱。 随机过程的频域分析主要关注其功率谱密度，这是描述随机过程平均功率分布的关键概念。在实信号的情况下，能量谱密度是傅里叶变换的平方模在全频域的积分，即帕塞瓦尔等式。它给出了信号总能量与频域内能量分布的关系。然而，对于随机过程，即使其样本函数的总能量是无限的，但它们的平均功率是有限的。这使得随机过程样本函数的平均功率满足傅里叶变换的条件，从而存在功率谱。 在实随机过程的分析中，通常采用截取函数的方法来处理样本函数。例如，对于随机过程 𝑋(𝑡) 的样本函数 𝑥𝑘(𝑡)，可以选择一段2𝑇长度的截取函数 𝑥𝑘𝑇 (𝑡)。截取函数满足绝对可积条件，因此其傅里叶变换存在。通过这种方式，我们可以计算截取函数的频谱函数 𝔛𝑘𝑇 (𝜔)，进而得到随机过程在频域内的特性。 需要注意的是，随机过程的平均功率可以通过分析截取函数的傅里叶变换的平方模来获取。根据帕塞瓦尔等式，信号的平均功率等于其在频域内功率谱密度的积分。这意味着我们可以利用随机过程在频域内的分布来了解其在时域上的统计性质，如均值、方差等。 在工程应用中，随机过程的功率谱密度有着广泛的应用，例如在通信系统中分析噪声、信号干扰或在控制系统中研究系统的稳定性。通过研究随机过程的功率谱，可以更好地理解信号的统计特性，并据此设计滤波器、检测算法或其他信号处理技术。 虽然随机过程不具备通常意义下的“频谱”，但通过功率谱密度的概念，我们可以对随机过程进行频域分析，揭示其在频域内的平均功率分布，这对理解和处理各种随机信号至关重要。这种方法在信号与系统、通信理论等领域中具有重要的理论和实践价值。