机器学习与深度学习面试系列九（降维）1

《机器学习与深度学习面试系列九：降维——PCA与LDA解析》 降维是机器学习和深度学习领域中的重要技术，其目的是降低数据的复杂性，减少特征属性的数量，以应对高维数据带来的计算复杂性和维度灾难。此外，降维还能帮助实现数据的可视化，因为高维数据在二维或三维空间的可视化往往更具挑战性。常见的降维方法包括主成分分析(PCA)、线性判别分析(LDA)、等距映射、局部线性嵌入、拉普拉斯特征映射和局部保留投影等。 主成分分析(PCA)是一种无监督学习方法，它通过找到数据在低维线性空间上的正交投影，即主子空间，来实现降维。PCA的目标是最大化投影后的方差，同时保持数据的重构误差最小。具体来说，PCA通过计算数据的协方差矩阵，找到其特征向量，选择具有最大特征值的向量作为主成分。这些主成分构成了主子空间，使得数据在该空间内的投影保留了最多的方差信息。 线性判别分析(LDA)则是一种有监督的降维方法，主要用于分类任务。LDA旨在找到一个投影方向，使得不同类别的样本在投影后的空间中尽可能分离，同时保持同一类别内的样本尽可能接近。LDA的目标是最大化类间距离，同时最小化类内距离。在二分类问题中，LDA通过最大化类间均值差与最小化类内方差的比值来确定投影方向。对于多分类问题，LDA会寻找k-1个正交的投影方向，对应于类间散度矩阵的最大k-1个特征值。 PCA与LDA的主要区别在于：PCA不考虑数据的类别信息，而LDA则充分利用类别标签；PCA关注的是数据本身的方差，而LDA更关心类别间的区分度。因此，当数据的分类信息依赖于均值而非方差时，LDA相对于PCA可能表现更优。然而，LDA的局限性在于它假设数据服从高斯分布，且降维的维度不能超过类别数k-1。PCA则没有这样的限制，但同样不适用于非高斯分布的数据。 PCA和LDA都是降维的有效工具，选择哪种方法取决于具体的应用场景和数据特性。在面试中，理解这两种方法的原理、应用场景以及优缺点，有助于展示对机器学习和深度学习的深入理解。