解题思路25

【题目解析】 本题是一道典型的动态规划问题，被称为“数字三角形”，要求找到从数字三角形顶部到底部的一条路径，使得路径上所有数字之和最大。问题的关键在于使用动态规划方法构建一个二维矩阵来存储中间过程的最大和，从而避免重复计算。 【输入输出描述】 输入描述：输入包含多组数据，每组数据由两部分组成。第一部分是一个正整数n，表示数字三角形的层数（1≤n≤100）。接下来n行，每行包含若干个自然数，构成了数字三角形的每一层。 输出描述：对于每组数据，输出该数字三角形中最大路径和。 【输入例子】： 5 7 3 8 8 1 0 2 7 4 4 4 5 2 6 5 【输出例子】： 30 2 【解题思路】： 1. **构建二维矩阵**：将输入的数字三角形按照行转换为一个二维数组matrix。例如，输入例子对应的矩阵为： ``` matrix = [ [7], [3, 8], [8, 1, 0], [2, 7, 4], [4, 4, 5, 2], [2, 6, 5] ] ``` 2. **动态规划算法**： - 初始化：对于矩阵的第一列，其最大和就是自身的值，因为没有其他路径可以选择。对于第一行的其他元素，最大和等于其上一行的最大值加上当前值。 - 递推计算：对于矩阵中的其他元素（除了边界元素），最大和可以通过比较其左上角元素和上方元素的最大值，然后加上当前元素的值来计算。递推公式为： ``` matrix[i][j] = { matrix[i][j] if i = 0 and j = 0 matrix[i-1][j] + matrix[i][j] if i > 0 and j = 0 matrix[i-1][j-1] + matrix[i][j] if i = j > 0 max(matrix[i-1][j-1], matrix[i-1][j]) + matrix[i][j] if i > j > 0 } ``` 3. **求解最大值**：遍历矩阵的最后一列，其中的最大值就是整个数字三角形的最大路径和。 【算法实现】： 在编程实现时，可以使用两个嵌套循环来迭代矩阵中的每个元素，进行上述的递推计算。对于每一层的每个元素，根据其位置更新最大和。在完成所有计算后，返回最后一列的最大值作为结果。 【优化技巧】： 虽然动态规划的方法已经很高效，但为了进一步提高效率，可以考虑只保存上一行的最大和，而不是保存整个二维矩阵。这样可以降低空间复杂度，从O(n^2)降低到O(n)。 总结来说，解决“数字三角形”问题的关键在于理解动态规划的思想，通过计算每个元素的最大路径和，逐步求解整个三角形的最大路径和。这个问题展示了动态规划在解决最优化问题时的有效性和优雅性。