化工应用数学-05-常微分方程求解求解-讲义1
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2022-08-03
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化工应用数学 第五章 常微分方程求解 讲义
常微分方程的基本概念：
在化工研究中，很多时候我们所研究的变量之间的函数关系并不能直接写出
来，而是要根据物理或者实际情况，先得到这些变量之间的导数的关系，然后再
根据这些关系去把未知的函数关系求解出来。
下面介绍一些微分方程中的基本概念：
这种含有未知函数的导数的方程就称为微分方程。
如果未知函数是一元函数，那么这种含有未知函数导数的微分方程称为常微
分方程；而若未知函数是多元函数，那么这种含有未知函数的偏导数的微分方程
称为偏微分方程。
这里，方程中未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶
一般的，二阶及二阶以上的微分方程我们称为高阶微分方程。
同时，最高阶导数的指数我们称为微分方程的次数，上面两个都是一次微分
方程。
能够满足微分方程的某个函数 y=f(x)叫做微分方程的一个解。
一般的，n 阶微分方程的解并不是唯一的，我们把包含 n 个独立的任意常数，
并且常数个数与微分方程的阶数相同的解称为微分方程的通解，写作：
y=f(x,C
1
,C
2
,…,C
n
)
通解中各任意常数取特定值所得到的解称为特解。
常微分方程的解析求解-分离变量法：
若常微分方程 dy/dx=φ(x,y)可以将φ(x,y)分解为 x、y 分别的两部分即：
对于这样的常微分方程，就可以使用分离变量法进行求解，即把上式数学变
换为：
然后两边分别进行不定积分即可进行求解：
例：
求微分方程
的通解。 解：
而有些常微分方程虽然并不能像上面那样直接分解为 x、y 两部分，但是可
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